Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) dient zum Teilen: Bei 18/24 ist der ggT von 18 und 24 gleich 6 und führt den Bruch auf 3/4. Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) dient zum Zusammenführen: Um zwei Brüche mit den Nennern 4 und 6 zu addieren, liefert kgV(4, 6) = 12 den gemeinsamen Nenner. Wenn du die Methode brauchst, um den ggT von Hand zu berechnen, schau dir den euklidischen Algorithmus an.
Stell dir vor der Rechnung eine Frage. Willst du eine Menge in kleinere Teile aufteilen oder zwei Mengen zu einem gemeinsamen Maß zusammenführen? Wenn du aufteilst, ist es der ggT. Wenn du zusammenführst, ist es das kgV. Zum Üben dieser Entscheidung gibt es die Aufgaben zu ggT und kgV.
| Kriterium | ggT | kgV |
|---|---|---|
| Was er sucht | Den größten gemeinsamen Teiler | Das kleinste gemeinsame Vielfache |
| Welche Zahlen er betrachtet | Zähler und Nenner eines Bruchs | Die Nenner mehrerer Brüche |
| Wofür er dient | Kürzen | Addieren, Subtrahieren und Vergleichen |
| Beispiel | ggT(18, 24) = 6, das kürzt 18/24 in einem Schritt | kgV(4, 6) = 12, und die Summe wird in Zwölfteln gerechnet |
Die Tabelle fasst den Ratgeber zusammen. Der ggT wirkt innerhalb eines Bruchs, das kgV wirkt zwischen Brüchen.
Der ggT arbeitet innerhalb des Bruchs
Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu teilen, und der ggT erledigt das in einem einzigen Schritt. Die gemeinsamen Teiler von 18 und 24 sind 1, 2, 3 und 6. Teilst du durch 2, erhältst du 9/12, und der Bruch lässt sich noch weiter kürzen. Mit dem ggT, also 6, kommst du direkt zum Ergebnis, das schon vollständig gekürzt ist, weil 3 und 4 nur die 1 gemeinsam haben.
Bei großen Zahlen ist der euklidische Algorithmus schneller, als Teiler aufzulisten. Um das auf einen Bruch anzuwenden, nutze Brüche kürzen, und für die reine Zahl den ggT-Rechner.
Lösungsbeispiel: Saft und Wasser
Du gießt 3/4 Liter Saft und 5/6 Liter Wasser in denselben Krug. Wie viele Liter hast du?
- Schau auf die Nenner. Es sind 4 und 6, und sie müssen zusammengeführt werden, also nimmst du das kgV.
- Berechne das kgV. Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12 … und die von 6 sind 6, 12 … Das erste gemeinsame ist 12.
- Erweitere. 3/4 = 9/12 und 5/6 = 10/12.
- Addiere. 9/12 + 10/12 = 19/12, und weil 19 und 12 keinen gemeinsamen Teiler haben, gibt es mit dem ggT nichts zu kürzen.
Du hast 19/12 Liter, das sind 1 7/12.
Probe. Als Dezimalzahl ist 0,75 + 0,83… = 1,58…, und auch 19 : 12 ergibt 1,58….
Das kgV arbeitet zwischen den Brüchen
Zwei Brüche lassen sich nur addieren oder subtrahieren, wenn sie gleich große Teile zählen. Haben sie verschiedene Nenner (ungleichnamige Brüche), schreibst du sie mit einem Nenner um, der ein Vielfaches von beiden ist, und der kleinstmögliche ist das kgV. Haben sie schon denselben Nenner (gleichnamige Brüche), brauchst du kein kgV: Du addierst die Zähler, wie der Ratgeber warum man Nenner nicht addiert erklärt.
Derselbe gemeinsame Nenner hilft auch beim Vergleichen. In Zwölfteln ist 9/12 kleiner als 10/12, also ist der erste Bruch der kleinere. Über Kreuz multiplizieren führt zur gleichen Antwort: 3 × 6 = 18 ist kleiner als 5 × 4 = 20. Das steht unter Brüche vergleichen. Den schon berechneten gemeinsamen Nenner siehst du im Rechner für den kleinsten gemeinsamen Nenner oder im kgV-Rechner.
Erweitern und Kürzen sind Umkehroperationen
Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren, und genau das tust du beim Übergang zum gemeinsamen Nenner. Kürzen heißt, durch dieselbe Zahl zu teilen, und das erledigt der ggT. Beides erhält den Wert des Bruchs und liefert gleichwertige Brüche, ein Thema, das gleichwertige Brüche vertieft.
In einer Summe kommen oft beide vor, und zwar in dieser Reihenfolge: zuerst das kgV zum Addieren und danach, falls nötig, der ggT zum Kürzen. Bei 1/6 + 1/3 ist kgV(6, 3) = 6, die Summe ist 1/6 + 2/6 = 3/6, und der ggT von 3 und 6 ist 3, der das Ergebnis auf 1/2 kürzt.
Wie die beiden Zahlen zusammenhängen
Für zwei positive Zahlen gilt ggT × kgV = Produkt der beiden Zahlen. Bei 4 und 6 ist 2 × 12 = 24 = 4 × 6, und deshalb kannst du das kgV als Produkt geteilt durch den ggT berechnen. Diese Beziehung gilt nur für zwei Zahlen.
| Zahlen | ggT | kgV | ggT × kgV |
|---|---|---|---|
| 4 und 6 | 2 | 12 | 24 |
| 6 und 8 | 2 | 24 | 48 |
| 4 und 9 | 1 | 36 | 36 |
| 12 und 18 | 6 | 36 | 216 |
In jeder Zeile stimmt der letzte Wert mit dem Produkt der beiden Zahlen überein: 6 × 8 = 48, 4 × 9 = 36 und 12 × 18 = 216.
So wählst du bei einer Textaufgabe
Stichwörter täuschen, also übersetze die Frage. Wird die größte Länge gesucht, die in zwei Maße genau mehrmals hineinpasst, ist es der ggT, etwa beim Zuschneiden gleich großer Stücke ohne Rest. Wird gefragt, wann zwei Vorgänge zusammentreffen, die sich in festen Abständen wiederholen, ist es das kgV. Zum Üben mit Aufgaben ohne Hinweis schau dir die Aufgaben zu ggT und kgV an.
Quellen
OpenStax (Prealgebra 2e, Abschnitt 4.5, auf Englisch) definiert den kleinsten gemeinsamen Nenner zweier Brüche als das kgV ihrer Nenner, und dieser Abschnitt ist die Grundlage dafür, wie dieser Ratgeber beim Addieren mit verschiedenen Nennern vorgeht: OpenStax, Addieren und Subtrahieren mit verschiedenen Nennern, abgerufen am 16. Oktober 2026.
Der deutsche Wikipedia-Artikel zum größten gemeinsamen Teiler beschreibt ihn als größte natürliche Zahl, durch die sich zwei Zahlen ohne Rest teilen lassen, nennt das Kürzen von Brüchen als wichtige Anwendung (mit dem Beispiel 10/15 = 2/3) und gibt die Beziehung ggT(a, b) · kgV(a, b) = |a · b| an: Wikipedia, Größter gemeinsamer Teiler, abgerufen am 17. Oktober 2026.