Il MCD (massimo comune divisore) serve a dividere: in 18/24, il MCD di 18 e 24 è 6 e porta la frazione a 3/4. Il mcm (minimo comune multiplo) serve a unire: per sommare due frazioni con denominatori 4 e 6, il mcm tra 4 e 6 è 12 e dà il denominatore comune. Se ti serve il metodo per calcolare il MCD a mano, guarda l’algoritmo di Euclide.
Prima di calcolare, fatti una domanda. Vuoi dividere una quantità in parti più piccole o unire due quantità in una misura comune? Se dividi, è il MCD. Se unisci, è il mcm. Per allenare questa scelta ci sono i problemi di MCD e mcm.
| Criterio | MCD | mcm |
|---|---|---|
| Che cosa cerca | Il massimo divisore comune | Il minimo multiplo comune |
| Quali numeri guarda | Numeratore e denominatore di una frazione | I denominatori di più frazioni |
| A che cosa serve | Semplificare | Sommare, sottrarre e confrontare |
| Esempio | MCD(18, 24) = 6, che riduce 18/24 in un solo passaggio | mcm(4, 6) = 12, e la somma passa ai dodicesimi |
La tabella riassume la guida. Il MCD si applica dentro una frazione e il mcm si applica tra frazioni.
Il MCD lavora dentro la frazione
Semplificare significa dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero, e il MCD lo fa in un solo passaggio. I divisori comuni di 18 e 24 sono 1, 2, 3 e 6. Se dividi per 2 ottieni 9/12, che si può ancora ridurre. Con il MCD, cioè 6, arrivi direttamente al risultato, che è già irriducibile perché 3 e 4 hanno in comune solo l’1.
Con numeri grandi, l’algoritmo di Euclide è più veloce che elencare i divisori. Per applicarlo a una frazione usa semplificare le frazioni; per calcolare solo il numero, la calcolatrice del massimo comune divisore.
Esempio svolto: succo e acqua
Versi 3/4 di litro di succo e 5/6 di litro di acqua nella stessa caraffa. Quanti litri hai?
- Guarda i denominatori. Sono 4 e 6 e vanno uniti, quindi usa il mcm.
- Calcola il mcm. I multipli di 4 sono 4, 8, 12… e quelli di 6 sono 6, 12… Il primo in comune è 12.
- Trasforma. Le due frazioni diventano 9/12 e 10/12.
- Somma. 9/12 + 10/12 = 19/12, e poiché 19 e 12 non hanno divisori in comune, con il MCD non c’è niente da ridurre.
Hai 19/12 di litro, cioè 1 7/12.
Verifica. In decimali, 0,75 + 0,83… = 1,58…, e anche 19 : 12 dà 1,58….
Il mcm lavora tra le frazioni
Due frazioni si possono sommare o sottrarre solo quando contano parti della stessa grandezza. Se hanno denominatori diversi, vanno riscritte con un denominatore multiplo di entrambi, e il più piccolo possibile è il mcm. Se hanno già lo stesso denominatore, il mcm non serve: si sommano i numeratori, come spiega la guida su perché non si sommano i denominatori.
Lo stesso denominatore comune serve per confrontare. In dodicesimi, 9/12 è minore di 10/12, quindi la prima frazione è la più piccola. Il prodotto in croce dà la stessa risposta: 3 × 6 = 18 è minore di 5 × 4 = 20. Lo trovi spiegato in confrontare frazioni. Per vedere il denominatore comune già calcolato usa il minimo comune denominatore o la calcolatrice del minimo comune multiplo.
Moltiplicare e semplificare sono operazioni opposte (entrambe usano la proprietà invariantiva)
Con la proprietà invariantiva si possono moltiplicare o dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero. Moltiplicare è quello che fai quando passi al denominatore comune; semplificare vuol dire dividere per lo stesso numero, ed è ciò che fa il MCD. Entrambe conservano il valore della frazione e producono frazioni equivalenti, un tema che trovi approfondito in frazioni equivalenti.
In una somma spesso compaiono entrambe, in quest’ordine: prima il mcm per sommare e poi, se serve, il MCD per semplificare. Con 1/6 + 1/3, il mcm tra 6 e 3 è 6, la somma è 1/6 + 2/6 = 3/6, e il MCD di 3 e 6 è 3, che porta il risultato a 1/2.
Come sono legati i due numeri
Per due numeri positivi vale MCD × mcm = prodotto dei due numeri. Con 4 e 6 si ha 2 × 12 = 24 = 4 × 6, e per questo puoi calcolare il mcm come prodotto diviso il MCD. Questa relazione vale solo per due numeri.
| Numeri | MCD | mcm | MCD × mcm |
|---|---|---|---|
| 4 e 6 | 2 | 12 | 24 |
| 6 e 8 | 2 | 24 | 48 |
| 4 e 9 | 1 | 36 | 36 |
| 12 e 18 | 6 | 36 | 216 |
In ogni riga l’ultimo valore coincide con il prodotto dei due numeri: 6 × 8 = 48, 4 × 9 = 36 e 12 × 18 = 216.
Come scegliere in un problema con le parole
Le parole chiave ingannano, quindi traduci la domanda. Se chiede la misura più grande che entra un numero esatto di volte in due lunghezze, è MCD, come quando tagli pezzi uguali senza avanzi. Se chiede quando coincidono due eventi che si ripetono a intervalli regolari, è mcm. Per esercitarti con testi senza etichetta, guarda i problemi di MCD e mcm.
Fonti
OpenStax (Prealgebra 2e, sezione 4.5, in inglese) definisce il minimo comune denominatore di due frazioni come il mcm dei loro denominatori, ed è la parte che questa guida usa per sommare con denominatori diversi: OpenStax, somma e sottrazione con denominatori diversi, consultato il 16 ottobre 2026.
In italiano, la voce di Wikipedia sul massimo comun divisore lo definisce come il numero naturale più grande per cui due numeri sono divisibili esattamente, lo collega alla riduzione delle frazioni ai minimi termini (con l’esempio 42/56 = 3/4) e richiama la relazione con il minimo comune multiplo: Wikipedia, Massimo comun divisore, consultato il 16 ottobre 2026.