Un rapporto confronta due quantità, una frazione esprime un quoziente, spesso una parte del totale, e una proporzione afferma che due rapporti hanno lo stesso valore. Le stesse 11 biglie danno 4/11 se confronti le rosse con il totale e 4/7 se le confronti con le blu. Qui impari a scegliere quale usare; per calcolare, usa il calcolatore da rapporto a frazione o quello delle proporzioni.
| Idea | Che cosa fa | Nel sacchetto |
|---|---|---|
| Rapporto | Confronta due quantità in un ordine | 4 rosse ogni 7 blu: 4:7 |
| Frazione | Esprime un quoziente; spesso una parte del totale | Le rosse sono 4 biglie su 11: 4/11 |
| Proporzione | Afferma che due rapporti hanno lo stesso valore | 4:7 = 8:14 |
Le tre righe usano gli stessi numeri ma rispondono a domande diverse: il rapporto e la proporzione confrontano gruppi tra loro, mentre la frazione misura una parte dell’insieme completo.
Il secondo sacchetto ha il doppio delle biglie, ma non cambia né il rapporto né la frazione. È l’idea che unisce i tre concetti: confrontare senza dipendere dalla dimensione assoluta.
Quando un rapporto si può trasformare in frazione del totale
Un rapporto tra due gruppi diventa frazione del totale con a/(a + b), e solo se quei due gruppi sono tutto ciò che conti. Nel sacchetto 4 e 7 sommano 11, quindi le blu sono 7 su 11. Per leggere una parte del totale come frazione, guarda quale frazione rappresenta una quantità.
Se aggiungi 2 biglie verdi, il rapporto rosse:blu resta 4:7, ma ora le biglie sono 13 e le rosse sono 4 su 13. Il rapporto non dipende dalle verdi; la frazione del totale sì. Prima di passare dal rapporto alla frazione, definisci che cosa comprende il totale.
Il rapporto si può anche scrivere come quoziente per confrontare rosse e blu: 4/7 di biglia rossa per ogni biglia blu. Questo numero non è la parte di biglie che sono rosse. Per passare alla percentuale usa la frazione del totale e il calcolatore di percentuali.
Esempio svolto: 4 biglie rosse e 7 blu
Un sacchetto contiene 4 biglie rosse e 7 blu. Un altro ne contiene 8 rosse e 14 blu. Quale rapporto, quale frazione e quale proporzione descrivono le biglie?
- Scrivi il rapporto. Rosse rispetto a blu è 4:7.
- Conta il totale. 4 + 7 = 11 biglie.
- Scrivi la frazione del totale. Le rosse sono 4/11 = 0,3636… ≈ 36,4% (errore minore di 0,05 punti percentuali).
- Guarda il secondo sacchetto. Ha 8:14 e, dividendo per 2, resta 4:7. I due rapporti sono uguali, quindi formano una proporzione.
- Guarda la sua frazione. 8 biglie su 22 sono rosse, e 8/22 = 4/11.
Risultato: rapporto 4:7, rosse 4/11 del totale e proporzione 4:7 = 8:14.
Verifica: 4 × 14 = 56 e 7 × 8 = 56, quindi i prodotti in croce coincidono.
Come verificare una proporzione e trovare il termine mancante
Due rapporti formano una proporzione se i loro prodotti in croce sono uguali: a/b = c/d quando a × d = b × c, con b e d diversi da zero. Con 2/5 e 3/7 non vale, perché 2 × 7 = 14 e 5 × 3 = 15. I due rapporti si somigliano e tuttavia non sono uguali.
Per trovare un termine, mantieni l’ordine delle quantità. Se hai 12 biglie rosse e vuoi conservare il rapporto, imposta 4/7 = 12/x. I prodotti in croce danno 4x = 84, quindi x = 21 blu. Verifica dividendo: 12:21 è 4:7 dopo aver diviso per 3.
Questo calcolo presuppone che la situazione mantenga il rapporto. Una ricetta o una mappa in scala lo rispettano, un prezzo con quota fissa no. La regola del tre usa la stessa equazione applicata a un problema con due grandezze; la guida sulle scale la usa con unità di lunghezza.
Tassi: rapporti con unità diverse
Se i due termini misurano grandezze diverse, il rapporto si chiama tasso e porta con sé le unità. Un’auto che percorre 150 km in 2 ore ha il rapporto 150:2, che dà 75 km/h. Non è una frazione di un insieme, perché chilometri e ore non formano un totale da ripartire. La guida su velocità, distanza e tempo tratta questo caso con le frazioni di ora.
Per proseguire
- Per ridurre un rapporto ai termini più piccoli, usa semplificare i rapporti.
- Per vedere gli altri usi di una frazione (quoziente, misura, operatore), leggi significati di una frazione.
- Per ripartire una quantità con dei pesi, guarda ripartizioni con le frazioni.
- Se parti da zero, cosa sono le frazioni spiega l’idea di parte e intero.
Fonti
La voce Proporzionalità (matematica) di Wikipedia (in italiano, consultata il 17 ottobre 2026) definisce la proporzione come uguaglianza tra il rapporto del primo e del secondo numero e quello del terzo e del quarto, e ne enuncia la proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.