Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen, ein Bruch drückt einen Quotienten aus, oft einen Teil des Ganzen, und eine Proportion sagt, dass zwei Verhältnisse denselben Wert haben. Dieselben 11 Murmeln ergeben 4/11, wenn du die roten mit allen vergleichst, und 4/7, wenn du sie mit den blauen vergleichst. Hier lernst du, was wann passt; zum Rechnen nimmst du den Rechner Verhältnis in Bruch oder den für Proportionen.
| Idee | Was sie tut | Im Beutel |
|---|---|---|
| Verhältnis | Vergleicht zwei Größen in einer Reihenfolge | 4 rote auf 7 blaue: 4 : 7 |
| Bruch | Drückt einen Quotienten aus, oft einen Teil des Ganzen | Die roten sind 4 von 11 Murmeln: 4/11 |
| Proportion | Sagt, dass zwei Verhältnisse denselben Wert haben | 4 : 7 = 8 : 14 |
Die drei Zeilen benutzen dieselben Zahlen, beantworten aber verschiedene Fragen: Verhältnis und Proportion vergleichen Gruppen miteinander, der Bruch misst einen Teil der ganzen Menge.
Der zweite Beutel hat doppelt so viele Murmeln, aber weder das Verhältnis noch der Bruch ändert sich. Das ist der Gedanke, der alle drei verbindet: vergleichen, ohne von der absoluten Größe abzuhängen.
Wann sich ein Verhältnis in einen Anteil am Ganzen umrechnen lässt
Ein Verhältnis zweier Gruppen wird mit a/(a + b) zum Anteil am Ganzen, und zwar nur, wenn diese beiden Gruppen alles sind, was du zählst. Im Beutel ergeben 4 und 7 zusammen 11, also sind die blauen 7 von 11. Wie du einen Teil des Ganzen als Bruch liest, zeigt welcher Bruchteil das ist.
Legst du 2 grüne Murmeln dazu, bleibt das Verhältnis rot : blau bei 4 : 7, aber jetzt sind es 13 Murmeln und die roten sind 4 von 13. Das Verhältnis hängt nicht von den grünen ab, der Anteil am Ganzen schon. Lege deshalb vor dem Wechsel fest, was zum Ganzen gehört.
Das Verhältnis lässt sich auch als Quotient schreiben, um rote mit blauen zu vergleichen: 4/7 einer roten Murmel pro blauer Murmel. Diese Zahl ist nicht der Anteil der Murmeln, die rot sind. Für die Prozentangabe nimmst du den Anteil am Ganzen und den Prozentrechner.
Beispiel: 4 rote und 7 blaue Murmeln
Ein Beutel enthält 4 rote und 7 blaue Murmeln. Ein anderer enthält 8 rote und 14 blaue. Welches Verhältnis, welcher Bruch und welche Proportion beschreiben die Murmeln?
- Schreibe das Verhältnis. Rot zu Blau ist 4 : 7.
- Zähle das Ganze. 4 + 7 = 11 Murmeln.
- Schreibe den Anteil am Ganzen. Die roten sind 4/11 = 0,3636… ≈ 36,4 % (Fehler kleiner als 0,05 Prozentpunkte).
- Sieh dir den zweiten Beutel an. Er hat 8 : 14, und nach dem Teilen durch 2 bleibt 4 : 7. Beide Verhältnisse sind gleich, also bilden sie eine Proportion.
- Sieh dir seinen Bruch an. 8 von 22 Murmeln sind rot, und 8/22 = 4/11.
Ergebnis: Verhältnis 4 : 7, rote Murmeln 4/11 des Ganzen und Proportion 4 : 7 = 8 : 14.
Probe: 4 × 14 = 56 und 7 × 8 = 56, die Produkte über Kreuz stimmen also überein.
Eine Proportion prüfen und das fehlende Glied finden
Zwei Verhältnisse bilden eine Proportion, wenn ihre Produkte über Kreuz gleich sind: a/b = c/d, wenn a × d = b × c, mit b und d ungleich null. Bei 2/5 und 3/7 trifft das nicht zu, denn 2 × 7 = 14 und 5 × 3 = 15. Die beiden Verhältnisse sehen ähnlich aus und sind trotzdem nicht gleich.
Für ein fehlendes Glied behältst du die Reihenfolge der Größen bei. Hast du 12 rote Murmeln und willst das Verhältnis behalten, stellst du 4/7 = 12/x auf. Über Kreuz multipliziert ergibt das 4x = 84, also x = 21 blaue. Probe durch Kürzen: 12 : 21 ist nach dem Teilen durch 3 gleich 4 : 7.
Diese Rechnung setzt voraus, dass die Situation das Verhältnis beibehält. Ein Rezept oder eine maßstabsgetreue Karte tun das, ein Preis mit Grundgebühr nicht. Der Dreisatz benutzt dieselbe Gleichung für eine Aufgabe mit zwei Größen; der Ratgeber zum Kartenmaßstab benutzt sie mit Längeneinheiten.
Raten: Verhältnisse mit verschiedenen Einheiten
Messen die beiden Glieder verschiedene Größen, heißt das Verhältnis Rate und trägt Einheiten. Ein Auto, das in 2 Stunden 150 km fährt, hat das Verhältnis 150 : 2, und das ergibt 75 km/h. Das ist kein Bruch einer Menge, denn Kilometer und Stunden bilden kein Ganzes, das sich aufteilen ließe. Der Ratgeber zu Geschwindigkeit, Strecke und Zeit behandelt diesen Fall mit Bruchteilen von Stunden.
Zum Weiterlesen
- Um ein Verhältnis auf die kleinsten Glieder zu bringen, nutze Verhältnisse kürzen.
- Die anderen Bedeutungen eines Bruchs (Quotient, Maß, Operator) findest du unter Bedeutungen eines Bruchs.
- Um eine Menge nach Gewichten zu verteilen, lies Aufteilen mit Brüchen.
- Wenn du bei null anfängst, erklärt was Brüche sind die Idee von Teil und Ganzem.
Quellen
Der Artikel Verhältnis (Mathematik) der deutschsprachigen Wikipedia (abgerufen am 17. Oktober 2026) beschreibt die Proportion als Gleichung zweier Verhältnisse a : b = c : d und hält fest, dass sie sich zu a ⋅ d = c ⋅ b umformen lässt: Das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder.