Wähle, welches Glied fehlt, und fülle die anderen drei aus. Beim Berechnen erscheint das vierte, samt Probe. Hier steht das Verfahren des Rechners, an einem Beispiel von Hand durchgerechnet. Hast du Größen vor dir und musst erst entscheiden, ob sie direkt oder umgekehrt proportional sind, nimm den Dreisatz.
Gelöstes Beispiel: 2/3 = x/12
In 2/3 = x/12 fehlt der Zähler des zweiten Verhältnisses. Wie groß ist x?
- Multipliziere über Kreuz. Die Außenglieder sind 2 und 12, die Innenglieder 3 und x, also gilt 2 × 12 = 3 × x.
- Rechne das bekannte Produkt aus. 2 × 12 = 24, also 24 = 3 × x.
- Löse auf. x = 24 : 3 = 8.
- Prüfe die Nenner. 3 und 12 sind nicht null, die Lösung gilt also.
Das Ergebnis ist x = 8.
Probe. 8/12 lässt sich durch Kürzen mit 4 zu 2/3 vereinfachen, und die Produkte über Kreuz stimmen überein: 2 × 12 = 24 = 3 × 8.
Warum das Multiplizieren über Kreuz funktioniert
Eine Proportion sagt, dass zwei Verhältnisse gleich groß sind. Multiplizierst du beide Seiten von a/b = c/d mit b × d, fallen die Nenner weg, und es bleibt a × d = b × c. Dieser Schritt gilt nur, wenn b und d nicht null sind; deshalb macht ein bekannter Nenner null die Proportion ungültig. Kurz gesagt: In jeder Proportion ist das Produkt der Außenglieder gleich dem Produkt der Innenglieder.
Die Unbekannte kann an jeder der vier Stellen stehen, und du löst immer gleich auf: Multipliziere die beiden Glieder, die der Unbekannten diagonal gegenüberstehen, und teile durch das übrige. Bei 5/8 = 10/x steht die Unbekannte unten, also x = 8 × 10 : 5 = 16. Nach dem Auflösen schaust du noch einmal, dass kein Nenner null ist; ein Ergebnis x = 0 an einer Nennerstelle ist keine Lösung der ursprünglichen Proportion.
Um zu prüfen, ob eine gegebene Gleichheit eine Proportion ist, vergleichst du die Produkte über Kreuz. Bei 3/4 = 6/9 ist 3 × 9 = 27 und 4 × 6 = 24. Sie stimmen nicht überein, also ist es keine Proportion: 3/4 ist 0,75 und 6/9 ist etwa 0,67.
Fälle, die du unterscheiden solltest
Die meisten Proportionen haben genau eine Lösung, doch in einigen Fällen ändert sich die Art des Ergebnisses. Die Tabelle stellt sie zusammen, mit der Antwort, die der Rechner jeweils gibt.
| Proportion | Was passiert | Ergebnis |
|---|---|---|
| x/6 = 5/4 | Eindeutige Lösung, ein Bruch | x = 15/2, also 7,5 |
| 0/5 = x/7 | Null ist eine gültige Lösung | x = 0 |
| 2/x = 0/2 | Widerspruch, denn 2/x ist nie 0 | Keine Lösung |
| 0/x = 0/2 | Identität: beide Seiten sind 0 | Jedes x ungleich 0 |
| x/0 = 1/2 | Bekannter Nenner gleich 0 | Wird abgelehnt |
| 2/3 = 0/x | Das Auflösen ergäbe x = 0 | Wird abgelehnt |
In den letzten beiden Zeilen liefern die Produkte über Kreuz eine Gleichung, obwohl die Ausgangsproportion keinen Sinn ergibt. Der Rechner prüft die Nenner zum Schluss und denkt sich keine Zahl aus, nur um die Gleichheit zu füllen.
Maßstäbe und Rezepte mit Einheiten
Eine Proportion passt zu jeder Aufgabe, in der zwei Paare von Größen im selben Verhältnis stehen, solange beide Verhältnisse dieselben Größen in derselben Reihenfolge vergleichen. In einem Rezept gilt: Reichen 250 g Mehl für 3 Eier, brauchst du für 750 g x Eier. Der Ansatz ist 3/250 = x/750, und x = 3 × 750 : 250 = 9 Eier. Auf einer Karte im Maßstab 1:50.000 entsprechen 3 cm auf der Karte 3 × 50.000 : 100.000 = 1,5 km, denn 1 km sind 100.000 cm. Wie du einen Maßstab wie 1:50.000 liest und als Bruch schreibst, zeigt der Ratgeber Brüche und Kartenmaßstab an weiteren Fällen.
Wann du eine andere Seite brauchst
Diese Seite löst die Gleichung, wenn beide Verhältnisse schon dastehen. Ist deine Aufgabe eine andere, führt dich die Tabelle zur passenden Seite.
| Deine Aufgabe | Seite |
|---|---|
| Größen, bei denen du erst klären musst, ob sie direkt oder umgekehrt proportional sind | Dreisatz |
| Eine Gesamtmenge in proportionale Teile aufteilen | Proportionale Aufteilung |
| Ein Verhältnis auf die einfachste Form bringen | Verhältnisse kürzen |
| Ein Verhältnis als Bruch schreiben | Verhältnis in Bruch umwandeln |
| Lücke in einem gleichwertigen Bruch | Fehlender Zähler oder Nenner |
| Zwei Brüche vergleichen, ohne ein Glied zu suchen | Brüche vergleichen |
Wie die drei Begriffe zusammenhängen, erklärt der Ratgeber Verhältnis, Proportion und Bruch.
Der Rechner liest keine Textaufgaben und keine Einheiten: Du entscheidest, welche Größe an welche Position gehört, und prüfst, dass die Einheiten beider Verhältnisse übereinstimmen.
Häufige Fragen
Darf ich Dezimalzahlen und negative Zahlen eingeben?
Ja. Das Verfahren ist dasselbe für ganze Zahlen mit Vorzeichen, Brüche und Dezimalzahlen. Bei −3/7 = x/28 ergibt sich x = −12, bei 2,5/4 = x/18 ergibt sich x = 45/4, als Dezimalzahl 11,25. Ist das Ergebnis keine ganze Zahl, kannst du es als vollständig gekürzten Bruch stehen lassen.
Was ist die vierte Proportionale?
Das ist das Glied d, das a/b = c/d vervollständigt, wenn a, b und c bekannt sind. Für 20, 30 und 45 lautet der Ansatz 20/30 = 45/d, und es folgt d = 30 × 45 : 20 = 135/2, als Dezimalzahl 67,5. Wähle im Rechner d als unbekanntes Glied und fülle die anderen drei Felder aus.