Escolha o termo que falta e preencha os outros três; o quarto sai ao calcular, com a sua verificação. Abaixo está o método que a calculadora segue, com um caso resolvido à mão. Se o seu problema traz grandezas e é preciso decidir se a relação é direta ou inversa, use a regra de três.
Exemplo resolvido: 2/3 = x/12
Em 2/3 = x/12 falta o numerador da segunda razão. Quanto vale x?
- Multiplique em cruz. Os extremos são 2 e 12, e os meios, 3 e x, então 2 × 12 = 3 × x.
- Calcule o produto conhecido. 2 × 12 = 24, logo 24 = 3 × x.
- Isole a incógnita. x = 24 ÷ 3 = 8.
- Verifique os denominadores. 3 e 12 não são zero, então a solução vale.
O resultado é x = 8.
Verificação. 8/12 se simplifica dividindo por 4 e dá 2/3, e as multiplicações cruzadas coincidem em 2 × 12 = 24 = 3 × 8.
Por que a multiplicação cruzada funciona
Uma proporção diz que duas razões têm o mesmo valor. Ao multiplicar os dois lados de a/b = c/d por b × d, os denominadores desaparecem e sobra a × d = b × c. Esse passo só é válido quando b e d não são zero, e por isso um denominador conhecido igual a zero invalida a proporção. Na linguagem escolar, isso se enuncia assim: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
A incógnita pode estar em qualquer um dos quatro lugares, e é sempre isolada do mesmo modo: multiplicam-se os dois termos que ficam na diagonal com a incógnita e divide-se pelo outro. Em 5/8 = 10/x, a incógnita está no denominador, então x = 8 × 10 ÷ 5 = 16. Depois de isolar, verifique de novo se algum denominador vale zero; um resultado como x = 0 num denominador não é solução da proporção original.
Para verificar se uma igualdade dada é mesmo uma proporção, compare os resultados da multiplicação cruzada. Em 3/4 = 6/9, 3 × 9 = 27 e 4 × 6 = 24. Não coincidem, então não é uma proporção: 3/4 vale 0,75 e 6/9 vale aproximadamente 0,67.
Casos que convém distinguir
A maioria das proporções tem uma resposta única, mas há situações em que o resultado muda de natureza. A tabela reúne todas, com a resposta que a calculadora dá em cada uma.
| Proporção | O que acontece | Resultado |
|---|---|---|
| x/6 = 5/4 | Solução única e fracionária | x = 15/2, que é 7,5 |
| 0/5 = x/7 | O zero é uma solução válida | x = 0 |
| 2/x = 0/2 | Contradição, porque 2/x nunca vale 0 | Não há solução |
| 0/x = 0/2 | Identidade: os dois lados valem 0 | Qualquer x diferente de 0 |
| x/0 = 1/2 | Denominador conhecido igual a 0 | A calculadora recusa a proporção |
| 2/3 = 0/x | Isolar daria x = 0 | A calculadora recusa a proporção |
Nas duas últimas linhas, a multiplicação cruzada produz uma equação mesmo que a proporção de partida não faça sentido. A calculadora verifica os denominadores no final e não inventa um número para completar a igualdade.
Escalas e receitas com unidades
Uma proporção serve para qualquer problema em que dois pares de quantidades guardam a mesma razão, desde que cada razão compare as mesmas grandezas na mesma ordem. Numa receita, se 250 g de farinha levam 3 ovos, 750 g levam x ovos. Monta-se 3/250 = x/750, e x = 3 × 750 ÷ 250 = 9 ovos. Num mapa na escala 1:50.000, 3 cm no mapa equivalem a 3 × 50.000 ÷ 100.000 = 1,5 km, porque 1 km são 100.000 cm. Para ler uma escala como 1:50.000 e passá-la para fração, o guia de frações em escalas e mapas traz mais casos.
Quando usar outra página
Esta página resolve a equação quando as duas razões já estão escritas. Se o seu problema é outro, esta tabela leva à página que se encaixa.
| O seu problema | Página |
|---|---|
| Grandezas em que é preciso decidir se são direta ou inversamente proporcionais | Regra de três |
| Repartir um total em partes proporcionais | Divisão proporcional |
| Reduzir uma razão à sua forma mais simples | Simplificar razões |
| Passar uma razão para fração | Razão para fração |
| Lacuna numa fração equivalente | Fração com valor desconhecido |
| Comparar duas frações sem procurar nenhum termo | Comparar frações |
Para ver como as três ideias se relacionam, há o guia de razão, proporção e fração.
A calculadora não interpreta enunciados nem unidades: cabe a quem usa decidir que quantidade vai em cada posição e verificar que as unidades das duas razões coincidem.
Perguntas frequentes
Aceita decimais e números negativos?
Sim. O método é o mesmo com inteiros com sinal, frações e decimais. Com −3/7 = x/28 o resultado é x = −12, e com 2,5/4 = x/18 o resultado é x = 45/4, que em decimal é 11,25. Se o resultado não for inteiro, pode deixá-lo como fração irredutível.
O que é a quarta proporcional?
É o termo d que completa a/b = c/d quando se conhecem a, b e c. Para 20, 30 e 45 monta-se 20/30 = 45/d, e d = 30 × 45 ÷ 20 = 135/2, que em decimal é 67,5. Na calculadora, escolha d como termo desconhecido e preencha os outros três.