Una proporzione afferma che due rapporti sono uguali: a/b = c/d, che a scuola si scrive anche a : b = c : d. Se conosci tre termini, la calcolatrice di proporzioni ricava il quarto con aritmetica razionale esatta. Restituisce una soluzione unica, segnala l’assenza di soluzioni oppure indica quando i dati non determinano un valore preciso.
Come usare la calcolatrice di proporzioni
- Scegli in «Termine incognito» quale termine manca in a/b = c/d: a o c (numeratori), b o d (denominatori). L’opzione iniziale è «c (numeratore a destra)».
- Compila i tre campi visibili; quello dell’incognita si nasconde. Per 2/3 = c/12 scrivi 2 in «a · Numeratore a sinistra», 3 in «b · Denominatore a sinistra» e 12 in «d · Denominatore a destra».
- Premi «Calcola». La risposta è «Soluzione unica: c = 8», seguita da «I prodotti incrociati sono uguali.».
- Leggi gli altri esiti, se compaiono. Quando non esiste una risposta unica il risultato lo dice: «La proporzione non ha soluzioni.» oppure «La proporzione è indeterminata: sono possibili più soluzioni.».
I termini noti accettano interi, frazioni, decimali finiti e numeri misti, anche negativi. I denominatori b e d devono essere diversi da zero sia prima sia dopo il calcolo.
Che cos’è una proporzione?
Una proporzione è l’uguaglianza di due rapporti, a : b = c : d. I termini a e d si chiamano estremi, b e c medi; in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Se conosci tre termini puoi ricavare il quarto, purché i denominatori della proporzione originale siano validi e il caso ammetta una sola soluzione. La guida su rapporto, proporzione e frazione mette a confronto i tre concetti.
Come si risolve una proporzione con i prodotti incrociati?
Una proporzione si risolve uguagliando i prodotti incrociati e ricavando l’incognita. Per 2/3 = x/12, l’uguaglianza richiede 2 × 12 = 3 × x:
2 × 12 = 3 × x → 24 = 3x → x = 8
Quindi 24 = 3x e x = 8. Verifica il risultato nella proporzione originale: 8/12 si riduce a 2/3.
2/3 = (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12; 2 × 12 = 3 × 8 = 24
Il prodotto incrociato deriva da a/b = c/d moltiplicando entrambi i membri per b × d. Questo passaggio conserva l’uguaglianza solo se b ≠ 0 e d ≠ 0, perciò la calcolatrice non lo usa per nascondere una divisione per zero. Un denominatore noto uguale a zero viene rifiutato subito: x/0 = 1/2 non definisce una proporzione, perché il primo membro non è un numero razionale.
La calcolatrice risolve con frazioni esatte l’equazione di primo grado data dai prodotti incrociati, controlla che i denominatori originali non si annullino e verifica di nuovo che a × d = b × c.
Come si trova un’incognita al denominatore?
Si applica la stessa regola e poi si controlla che il valore trovato non sia zero. Per 2/x = 1/3, i prodotti incrociati danno 2 × 3 = x, quindi x = 6; la verifica 2/6 = 1/3 è corretta. Se un passaggio producesse x = 0, non sarebbe una soluzione ammissibile della frazione originale: per questo lo strumento valida il valore dopo averlo ricavato.
Esempi svolti di proporzioni
Una ricetta. Se 250 g di farina richiedono 3 uova, quante uova servono per 750 g? La proporzione è 3 : 250 = x : 750, quindi x = 3 × 750 ÷ 250 = 9 uova. La farina triplica e triplicano anche le uova.
Una spesa in euro. Se 3 quaderni costano 4,50 euro, quanto costano 7 quaderni? Con 3 : 4,5 = 7 : x, cioè a = 3, b = 4,5, c = 7 e d incognito, si ottiene d = 4,5 × 7 ÷ 3 = 21/2, cioè 10,50 euro. La calcolatrice dà la frazione esatta 21/2.
Una scala di carta geografica. Su una carta in scala 1 : 50 000, 3 cm corrispondono a x cm reali: 1/50000 = 3/x, quindi x = 50000 × 3 ÷ 1 = 150 000 cm, cioè 1,5 km. La guida sulle frazioni in scale e mappe spiega come leggere queste scale.
Un risultato non intero. In x/6 = 5/4, x = 6 × 5 ÷ 4 = 15/2. La calcolatrice lo lascia come frazione esatta, che equivale a 7,5.
Quando la proporzione non ha una soluzione unica?
Una proporzione non ha una soluzione unica quando l’incognita sparisce dall’equazione dei prodotti incrociati. Con 0/3 = 0/x, entrambi i membri valgono zero per ogni x diverso da zero: le soluzioni sono infinite, con il vincolo che il denominatore non sia nullo. Con 2/x = 0/2, invece, nessun valore non nullo di x può rendere zero il primo membro: non c’è soluzione.
Un caso diverso è 2/3 = 0/x: i prodotti incrociati danno x = 0, ma quel valore renderebbe nullo un denominatore, quindi la calcolatrice mostra un errore invece di una soluzione. Lo strumento distingue soluzione unica, contraddizione e identità con vincoli, senza inventare un numero per completare la proporzione.
Quando usare questa calcolatrice e quando no
Usa la calcolatrice di proporzioni quando il problema è già scritto come due rapporti uguali e manca un termine: scale, ricette, frazioni equivalenti o conversioni con un rapporto fisso.
Scegli un altro strumento in questi casi:
- Grandezze direttamente o inversamente proporzionali, come operai e ore: la regola del tre chiede di scegliere in modo esplicito il tipo di relazione.
- Un totale da dividere in più parti: usa la ripartizione proporzionale.
- Un rapporto da ridurre ai minimi termini: consulta semplificare i rapporti.
- Il medio proporzionale, come 4 : x = x : 9: l’incognita compare due volte e la soluzione è una radice quadrata (x = 6, perché 6 × 6 = 4 × 9); questa calcolatrice ricava un solo termine incognito.
La calcolatrice non interpreta testi né unità di misura: sei tu a decidere quale quantità va in ogni posizione, e i due rapporti devono confrontare le stesse grandezze nello stesso ordine. OpenStax (in inglese) presenta i prodotti incrociati e la risoluzione delle proporzioni.
Tabella di proporzioni risolte
| Proporzione | Calcolo | Risultato |
|---|---|---|
| 2/3 = x/12 | x = 2 × 12 ÷ 3 | x = 8 |
| 3/4 = 9/x | x = 4 × 9 ÷ 3 | x = 12 |
| x/5 = 12/20 | x = 5 × 12 ÷ 20 | x = 3 |
| 4/x = 6/9 | x = 4 × 9 ÷ 6 | x = 6 |
| 5/8 = 15/x | x = 8 × 15 ÷ 5 | x = 24 |
| 1/2 = x/7 | x = 1 × 7 ÷ 2 | x = 7/2 |
| x/6 = 5/4 | x = 6 × 5 ÷ 4 | x = 15/2 |
| 0/5 = x/7 | x = 0 × 7 ÷ 5 | x = 0 |
| 2/x = 0/2 | 2 × 2 = 0 × x | nessuna soluzione |
| 0/x = 0/2 | 0 × 2 = 0 × x | indeterminata, x ≠ 0 |
| x/0 = 1/2 | denominatore 0 | rifiutata |
| 2/3 = 0/x | darebbe x = 0 | rifiutata |
Le ultime due righe mostrano perché il controllo dei denominatori fa parte del metodo: da soli, i prodotti incrociati non rilevano una frazione con denominatore zero.
Domande frequenti
Come si sceglie il termine incognito nella calcolatrice di proporzioni?
In «Termine incognito» scegli a, b, c o d secondo la posizione in a/b = c/d: a e c sono i numeratori, b e d i denominatori. Il campo scelto si nasconde e compili gli altri tre. In 3/4 = 9/x l'incognita è d e il risultato è d = 12.
Come si inserisce una proporzione scritta con i due punti?
Leggi a : b = c : d come a/b = c/d: il primo e il terzo termine vanno nei numeratori, il secondo e il quarto nei denominatori. Per 5 : 8 = 15 : x inserisci a = 5, b = 8, c = 15 e scegli d come incognita: il risultato è d = 24, perché 8 × 15 ÷ 5 = 24.
Un termine noto della proporzione può essere una frazione?
Sì. Ogni termine può essere un numero razionale: per (1/2)/3 = x/12 scrivi 1/2 nel campo a, 3 in b e 12 in d. Il primo rapporto vale 1/6, quindi c = 2. Scrivi solo il termine nel suo campo: i quattro campi formano già la struttura a/b = c/d.
La calcolatrice di proporzioni accetta decimali e numeri negativi?
Sì. I termini noti accettano interi con segno, frazioni, decimali finiti con la virgola e numeri misti. Con 0,75/3 = x/8 il risultato è c = 2, e con −2/5 = x/10 si ottiene c = −4. Se il risultato non è intero viene dato come frazione esatta, per esempio 7/2.
Perché non posso inserire 0 in b o in d?
Perché b e d sono denominatori, e una frazione con denominatore 0 non è definita. Per esempio, x/0 = 1/2 non è una proporzione: il primo membro non è un numero. La calcolatrice rifiuta quello zero prima di risolvere, con il messaggio «Il denominatore non può essere zero.».
Quali sono i medi e gli estremi di una proporzione?
In a : b = c : d, a e d sono gli estremi, b e c i medi. La proprietà fondamentale dice che il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi: in 2 : 3 = 8 : 12, 3 × 8 = 2 × 12 = 24. È la stessa uguaglianza dei prodotti incrociati usata dalla calcolatrice.
Basta controllare i prodotti incrociati per risolvere una proporzione?
Solo se entrambi i denominatori sono diversi da zero. Dopo aver trovato l'incognita, sostituiscila nella proporzione iniziale e controlla i denominatori: in 2/3 = 0/x i prodotti incrociati darebbero x = 0, ma 0/0 non è definito. La calcolatrice esegue questo controllo finale.
Come si verifica se quattro numeri formano una proporzione?
Moltiplica in croce e confronta: formano una proporzione se i due prodotti coincidono. Per 6/8 e 9/12: 6 × 12 = 72 e 8 × 9 = 72, quindi 6/8 = 9/12. In alternativa riduci entrambe le frazioni: tutte e due danno 3/4, come conferma semplificare le frazioni.
Che cos'è il quarto proporzionale?
È il termine d che completa la proporzione a : b = c : d quando si conoscono a, b e c. Per 2, 3 e 4: 2 : 3 = 4 : d, quindi d = 3 × 4 ÷ 2 = 6. Nella calcolatrice scegli d come termine incognito e inserisci gli altri tre.
Cosa significa «La proporzione non ha soluzioni»?
Significa che nessun valore dell'incognita rende vera l'uguaglianza. In 2/b = 0/2 il secondo membro vale 0, ma 2/b non vale mai 0 per un b diverso da zero. Lo stesso vale per 0/3 = 2/d: il primo membro è 0 e 2/d no. Controlla se un dato è stato copiato male.
Quando una proporzione è indeterminata?
Quando ha infinite soluzioni. In 0/b = 0/2 qualsiasi b diverso da zero soddisfa l'uguaglianza, perché entrambi i membri valgono 0. La calcolatrice scrive «La proporzione è indeterminata: sono possibili più soluzioni.» e ricorda che il denominatore incognito deve essere diverso da zero, invece di scegliere un numero a caso.
Perché compare un errore se la soluzione azzera un denominatore?
Perché quel valore non è una soluzione valida della proporzione originale. In 2/3 = 0/d i prodotti incrociati danno 2 × d = 0, cioè d = 0, e il secondo membro diventerebbe 0/0. La calcolatrice controlla i denominatori alla fine e mostra un avviso invece di restituire d = 0.
Quale strumento usare per altri problemi di proporzionalità?
Per problemi con grandezze e unità, come prezzi o tempi, usa la regola del tre; per dividere un totale in parti proporzionali, la ripartizione proporzionale. Se cerchi il termine mancante tra due frazioni equivalenti, è utile anche il calcolatore delle frazioni con valore mancante.