Con le frazioni il MCD serve per semplificare e il mcm serve per sommare o confrontare. Con 18 e 24 il MCD vale 6 e il mcm vale 72: 18/24 si riduce a 3/4, e per sommare 1/18 + 1/24 si passa tutto ai settantaduesimi.
| La tua domanda | Strumento | Con 18 e 24 |
|---|---|---|
| Per quale numero divido sopra e sotto per semplificare? | Massimo comune divisore | MCD(18, 24) = 6 |
| Quale denominatore uso per sommare o confrontare? | Minimo comune denominatore | 72, con 4/72 e 3/72 |
| Qual è il più piccolo multiplo che hanno in comune? | Minimo comune multiplo | mcm(18, 24) = 72 |
| Da quali numeri primi è formato ciascun numero? | Scomposizione in fattori primi | 18 = 2 × 3² e 24 = 2³ × 3 |
| Quali numeri lo dividono esattamente? | Divisori | 24 ne ha 8: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 |
Leggi la tabella partendo dalla domanda che hai. Il MCD e il mcm nascono dalla stessa coppia di numeri ma rispondono a domande diverse: uno cerca un divisore comune, l’altro un multiplo comune. Se hai già scritto l’operazione, la calcolatrice di frazioni trova il denominatore comune al posto tuo e mostra i passaggi.
Una coppia di numeri, due compiti
Esempio svolto: MCD e mcm di 18 e 24
Vuoi ridurre 18/24 e, a parte, sommare 1/18 + 1/24. Quale numero ti serve nei due casi?
- Scomponi ogni numero in fattori primi. 18 = 2 × 3² e 24 = 2³ × 3.
- Prendi i fattori comuni con l’esponente minore. 2 × 3 = 6, che è il MCD.
- Prendi tutti i fattori con l’esponente maggiore. 2³ × 3² = 72, che è il mcm.
- Riduci con il MCD. 18 ÷ 6 = 3 e 24 ÷ 6 = 4, quindi 18/24 = 3/4.
- Somma con il mcm. 72 ÷ 18 = 4 e 72 ÷ 24 = 3, perciò 1/18 = 4/72 e 1/24 = 3/72.
- Somma i numeratori: 4/72 + 3/72 = 7/72, che non si può più ridurre.
Risultato: MCD = 6, mcm = 72, 18/24 = 3/4 e 1/18 + 1/24 = 7/72.
Verifica: per due interi positivi, MCD × mcm è uguale al prodotto dei due numeri: 6 × 72 = 432 = 18 × 24.
Questa uguaglianza permette di ricavare uno dei due valori se conosci l’altro. Per vedere il calcolo con le divisioni successive, invece che con i fattori primi, leggi l’algoritmo di Euclide: 24 = 1 × 18 + 6 e 18 = 3 × 6, quindi l’ultimo resto diverso da zero è 6.
Denominatori diversi e prodotto in croce
Due frazioni con denominatori diversi si possono sommare con qualsiasi denominatore comune. Il prodotto in croce usa il prodotto dei denominatori: 18 × 24 = 432, e allora 1/18 + 1/24 = (24 + 18)/432 = 42/432. Il valore è lo stesso, ma i numeri sono sei volte più grandi e alla fine bisogna ridurre: 42/432 = 7/72. Il mcm di solito riduce questo passaggio perché è il denominatore comune più piccolo possibile. Per stabilire quale di due frazioni sia maggiore, invece, il prodotto in croce è comodo, ed è spiegato in confrontare le frazioni.
Un meccanismo simile è la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero (diverso da zero) si ottengono frazioni equivalenti; cambia solo la direzione. Passare da 3/4 a 72/96 significa moltiplicare per 24, e il MCD ti dice per quale numero puoi dividere al massimo numeratore e denominatore. Altri casi in frazioni equivalenti e in semplificare le frazioni.
Per proseguire
Ogni strumento della tabella si occupa di un numero. Se vuoi decidere con più calma tra l’uno e l’altro, o esercitarti, queste pagine ti portano più lontano:
- Differenza tra MCD e mcm: una guida per scegliere nei testi dei problemi in cui non è detto quale dei due usare.
- Criteri di divisibilità: criteri del 2, 3, 5, 9 e 11 per capire se un numero è divisibile senza fare la divisione, utili prima di cercare il MCD.
- Problemi con MCD e mcm svolti: ripartizioni in gruppi uguali ed eventi che coincidono a intervalli regolari, con la scelta motivata in ogni caso.
- Operazioni con le frazioni: le calcolatrici che usano questi risultati per sommare, sottrarre, confrontare e semplificare.
- Somma di frazioni: il passaggio del denominatore comune applicato a una somma completa, con diversi tipi di caso.
Lo strumento dei divisori accetta solo interi positivi, perché lo zero ha infiniti divisori e non si può elencare.