L’algoritmo di Euclide trova il massimo comune divisore (MCD) di due numeri con divisioni successive, senza scomporre in fattori. Per 462/1071 bastano tre divisioni: il MCD è 21 e la frazione diventa 22/51. Se vuoi solo il risultato, la calcolatrice del massimo comune divisore lo dà subito; questa guida spiega il metodo a mano e perché arriva sempre al MCD.
L’idea sta in una frase: il MCD di due numeri non cambia se sostituisci il maggiore con il resto della sua divisione per il minore. Ripeti finché il resto è 0, e l’ultimo divisore usato è il MCD.
Ogni riga rispetta dividendo = quoziente × divisore + resto, con il resto minore del divisore. Alla riga successiva si porta solo il divisore e il resto, non il quoziente. Il prodotto in croce della verifica è lo stesso che serve per confrontare le frazioni, e dividere i due termini per lo stesso numero è l’operazione inversa del moltiplicarli entrambi per lo stesso numero: entrambe si basano sulla proprietà invariantiva, come si spiega nelle frazioni equivalenti.
Perché basta il resto
Se a = q × b + r, ogni numero che divide a e b divide anche r, perché r = a − q × b. E viceversa: ciò che divide b e r divide anche a. Le coppie (a, b) e (b, r) hanno quindi gli stessi divisori comuni, e il più grande di essi è lo stesso. Per questo MCD(a, b) = MCD(b, r). Poiché ogni resto è minore del precedente, la catena scende fino a 0.
La stessa idea si vede con i quadrati. Il rettangolo di 1071 per 462 si ricopre con due quadrati di lato 462; nella striscia che avanza ne entrano tre di lato 147, e nella striscia finale sette di lato 21. Il quadrato più grande che riempie tutto senza vuoti ha lato 21, il MCD.
Esempio svolto: semplificare 462/1071
Vuoi ridurre 462/1071 ai minimi termini e a colpo d'occhio non vedi nessun divisore comune.
- Dividi il maggiore per il minore. 1071 = 2 × 462 + 147.
- Passa alla coppia divisore e resto. Ora sono 462 e 147: 462 = 3 × 147 + 21.
- Ripeti con la nuova coppia. Sono 147 e 21: 147 = 7 × 21 + 0. Il resto è 0, quindi la catena finisce.
- Prendi l’ultimo divisore. Il MCD è 21.
- Dividi numeratore e denominatore per 21. 462 ÷ 21 = 22 e 1071 ÷ 21 = 51.
Risultato: 462/1071 = 22/51.
Verifica: con il prodotto in croce, 462 × 51 = 23.562 e 1071 × 22 = 23.562, quindi le due frazioni valgono lo stesso. Inoltre 22 = 2 × 11 e 51 = 3 × 17 non hanno fattori in comune.
Secondo esempio, con cinque divisioni
Per 3600/4284 parti dal numero maggiore, 4284. La catena è:
- 4284 = 1 × 3600 + 684
- 3600 = 5 × 684 + 180
- 684 = 3 × 180 + 144
- 180 = 1 × 144 + 36
- 144 = 4 × 36 + 0
Il MCD è 36, e 3600 ÷ 36 = 100 con 4284 ÷ 36 = 119, quindi la frazione diventa 100/119. Se parti dal minore, la prima divisione dà quoziente 0 e scambia soltanto la coppia; il risultato è lo stesso, con un passaggio in più.
Euclide o fattori primi
Per un MCD ci sono due strade, e ciascuna vince in un terreno diverso.
| Metodo | Che cosa fai | Risultato | Quando conviene |
|---|---|---|---|
| Euclide | Dividi con resto fino ad arrivare a 0 | 5 divisioni, MCD 36 | Numeri grandi, o quando serve solo il MCD |
| Fattori primi | Scomponi e prendi i fattori comuni con l'esponente minore | 2² × 3² = 36 | Numeri piccoli, o quando serve anche il mcm |
Con 4284 = 2² × 3² × 7 × 17 e 3600 = 2⁴ × 3² × 5², la scomposizione richiede di trovare tutti i primi, e un fattore grande allunga la ricerca. Euclide non li cerca mai. Se oltre al MCD ti serve il mcm, la scomposizione in fattori primi lo dà direttamente, e la guida sulla differenza tra MCD e mcm spiega quando usare l’uno o l’altro. I criteri di divisibilità fanno risparmiare passaggi quando il divisore comune è evidente.
Un errore che sembra un risultato
L’errore più comune è portare avanti il quoziente al posto del resto, e produce un MCD che sembra plausibile.
Un altro errore simile è fermarsi a un resto piccolo senza aspettare lo 0: il MCD è l’ultimo divisore, non il primo resto che ti pare comodo. E per semplificare bisogna dividere entrambi i termini per il MCD, non uno solo, altrimenti il valore cambia.
Quando usarlo e dove andare dopo
Euclide lavora con due interi alla volta e restituisce solo il MCD. Per frazioni piccole, come 6/8, riconoscere il 2 a occhio è più rapido. Per esercitarti con qualsiasi frazione, lo strumento per semplificare le frazioni applica il MCD e dà la forma ridotta ai minimi termini. Se ti interessano altri modi di scrivere una frazione, la guida sulle frazioni continue ed egizie usa proprio queste divisioni: i quozienti della catena sono i termini della frazione continua.