El algoritmo de Euclides halla el máximo común divisor (MCD) de dos números con divisiones sucesivas, sin factorizar. Para 462/1071 bastan tres divisiones: el MCD es 21 y la fracción queda en 22/51. Si solo quieres el resultado, la calculadora de máximo común divisor lo da al instante; esta guía explica el método a mano y por qué siempre termina en el MCD.
La idea cabe en una frase: el MCD de dos números no cambia si sustituyes el mayor por el resto de dividirlo entre el menor. Repites hasta que el resto sea 0, y el último divisor usado es el MCD.
Cada línea cumple dividendo = cociente × divisor + resto, con el resto menor que el divisor. Lo único que se arrastra a la línea siguiente es el divisor y el resto, no el cociente. La multiplicación en cruz de la comprobación es la misma que sirve para comparar fracciones, y dividir los dos términos entre el mismo número es lo que distingue simplificar de amplificar, como se explica en fracciones equivalentes.
Por qué el resto basta
Si a = q × b + r, cualquier número que divida a a y a b divide también a r, porque r = a − q × b. Y al revés: lo que divide a b y a r divide a a. Los pares (a, b) y (b, r) tienen entonces los mismos divisores comunes, y el mayor de ellos es el mismo. Por eso MCD(a, b) = MCD(b, r). Como cada resto es menor que el anterior, la cadena baja hasta llegar a 0.
La misma idea se ve con cuadrados. El rectángulo de 1071 por 462 se recubre con dos cuadrados de lado 462; en la franja que sobra caben tres de lado 147, y en la tira final, siete de lado 21. El cuadrado más pequeño que lo llena todo sin huecos mide 21, el MCD.
Ejemplo resuelto: simplificar 462/1071
Quieres reducir 462/1071 a su fracción irreducible y no ves ningún divisor común a simple vista.
- Divide el mayor entre el menor. 1071 = 2 × 462 + 147.
- Pasa al par divisor y resto. Ahora son 462 y 147: 462 = 3 × 147 + 21.
- Repite con el nuevo par. Son 147 y 21: 147 = 7 × 21 + 0. El resto es 0, así que la cadena termina.
- Toma el último divisor. El MCD es 21.
- Divide numerador y denominador entre 21. 462 ÷ 21 = 22 y 1071 ÷ 21 = 51.
Resultado: 462/1071 = 22/51.
Comprobación: en cruz, 462 × 51 = 23 562 y 1071 × 22 = 23 562, así que valen lo mismo. Además, 22 = 2 × 11 y 51 = 3 × 17 no comparten factores.
Segundo ejemplo, con cinco divisiones
Para 3600/4284 empieza por el número mayor, 4284. La cadena es:
- 4284 = 1 × 3600 + 684
- 3600 = 5 × 684 + 180
- 684 = 3 × 180 + 144
- 180 = 1 × 144 + 36
- 144 = 4 × 36 + 0
El MCD es 36, y 3600 ÷ 36 = 100 con 4284 ÷ 36 = 119, así que la fracción queda en 100/119. Si empiezas por el menor, la primera división da cociente 0 y solo intercambia el par; el resultado es el mismo, con un paso de más.
Euclides o factores primos
Para un MCD hay dos caminos, y cada uno gana en un terreno distinto.
| Método | Qué haces | Resultado | Cuándo conviene |
|---|---|---|---|
| Euclides | Divides con resto hasta llegar a 0 | 5 divisiones, MCD 36 | Números grandes, o cuando solo necesitas el MCD |
| Factores primos | Factorizas y tomas los comunes con el menor exponente | 2² × 3² = 36 | Números pequeños, o cuando también quieres el MCM |
Con 4284 = 2² × 3² × 7 × 17 y 3600 = 2⁴ × 3² × 5², la factorización exige encontrar todos los primos, y un factor grande alarga la búsqueda. Euclides no los busca nunca. Si necesitas el MCM además del MCD, la descomposición en factores primos lo da directamente, y la guía sobre la diferencia entre MCD y MCM explica cuándo usar cada uno. Los criterios de divisibilidad ahorran pasos cuando el divisor común es evidente.
Un error que parece un resultado
El fallo más común es arrastrar el cociente en lugar del resto, y produce un MCD que parece razonable.
Otro fallo parecido es detenerse en un resto pequeño sin esperar al 0: el MCD es el último divisor, no el primer resto que te parece manejable. Y para simplificar hay que dividir los dos términos entre el MCD, no solo uno, o el valor cambia.
Cuándo usarlo y a dónde ir después
Euclides trabaja con dos enteros a la vez y devuelve solo el MCD. Para fracciones pequeñas, como 6/8, reconocer el 2 a ojo es más rápido. Para practicar con cualquier fracción, la herramienta de simplificar fracciones aplica el MCD y da la forma irreducible. Si te interesan otras formas de escribir una fracción, la guía de fracciones continuas y egipcias usa estas mismas divisiones: los cocientes de la cadena son los términos de la fracción continua.