Un número es divisible entre otro cuando la división no deja resto. Los criterios del 2 al 11 lo deciden mirando las últimas cifras o la suma de las cifras, sin dividir. El 2340 sirve de ejemplo porque pasa casi todos y falla solo en tres. Se divide entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10, y no se divide entre 7, 8 ni 11.
| Divisor | Se cumple si | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | La última cifra es par | 538 acaba en 8, y 538 = 2 × 269 |
| 3 | La suma de las cifras es múltiplo de 3 | 4 + 7 + 1 = 12, y 471 = 3 × 157 |
| 4 | Las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 | 24 = 4 × 6, y 124 = 4 × 31 |
| 5 | Acaba en 0 o en 5 | 835 = 5 × 167 |
| 6 | Cumple el criterio del 2 y el del 3 | 72 es par y 7 + 2 = 9, y 72 = 6 × 12 |
| 7 | Al quitar la última cifra y restar su doble al resto, queda un múltiplo de 7 | 34 − 2 × 3 = 28, y 343 = 7 × 49 |
| 8 | Las tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 | 728 = 8 × 91, y 2728 = 8 × 341 |
| 9 | La suma de las cifras es múltiplo de 9 | 3 + 4 + 5 + 6 = 18, y 3456 = 9 × 384 |
| 10 | Acaba en 0 | 580 = 10 × 58 |
| 11 | Las cifras con signos alternos suman 0 o un múltiplo de 11 | 5 − 3 + 1 − 3 = 0, y 3135 = 11 × 285 |
Los criterios del 2, 5 y 10 miran solo la última cifra, el del 4 mira dos y el del 8 mira tres. La razón es que 10 es múltiplo de 2 y de 5, que 100 lo es de 4 y que 1000 lo es de 8, de modo que todo lo que queda delante de esas cifras ya es divisible. Los del 3, 9 y 11 necesitan todas las cifras, y más abajo se ve por qué.
Por qué funcionan los criterios del 3, el 9 y el 11
Las potencias de 10 dejan resto 1 al dividirlas entre 9, porque 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 y 1000 = 999 + 1. Por eso un número y la suma de sus cifras dejan el mismo resto al dividir entre 9. En 2340 = 2 × 999 + 3 × 99 + 4 × 9 + 9, los tres primeros sumandos son múltiplos de 9 y solo falta ver si la suma de cifras lo es. Como 999, 99 y 9 también son múltiplos de 3, el mismo argumento vale para el criterio del 3.
Si la suma de cifras sigue siendo grande, vuelve a sumar. En 987 654, las cifras suman 39 y las de 39 suman 12. Ese 12 es múltiplo de 3 y no de 9, así que 987 654 es divisible entre 3 y no entre 9. Todo múltiplo de 9 lo es de 3, pero al revés no siempre.
El 11 sigue la misma idea con otro resto. Como 10 = 11 − 1, el número 10 deja resto −1, 100 deja resto 1, 1000 deja resto −1, y así alternando. Sumar las cifras con signos alternos da entonces el mismo resto que el número entero. En 2728, 2 − 7 + 2 − 8 = −11, y 2728 = 11 × 248. En 1001 hay que alternar también con los ceros, 1 − 0 + 0 − 1 = 0, y eso confirma que 1001 = 11 × 91. El signo del resultado no importa, porque −11 y 11 son múltiplos de 11.
Ejemplo resuelto: 2340 contra los diez criterios
Aplica los criterios del 2 al 11 al número 2340 y anota con cuáles es divisible.
- Mira el final. Acaba en 0, así que es divisible entre 2, 5 y 10. Las dos últimas cifras forman 40, que es 4 × 10, así que también lo es entre 4.
- Suma las cifras. 2 + 3 + 4 + 0 = 9, que es múltiplo de 3 y de 9. Como además es par, cumple el criterio del 6.
- Revisa el 8. Las tres últimas cifras forman 340, y 340 = 8 × 42 + 4. Deja resto 4, así que no es divisible entre 8 aunque sí entre 4.
- Revisa el 7. Quita el 0 final y queda 234. Quita el 4 y resta su doble a 23, y queda 15, que no es múltiplo de 7.
- Revisa el 11. Alterna los signos de las cifras y queda 2 − 3 + 4 − 0 = 3. No es 0 ni múltiplo de 11.
Resultado. 2340 es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10, y no lo es entre 7, 8 ni 11.
Comprobación. 2340 = 9 × 260, y 2340 ÷ 8 da 292,5, que no es entero. El 7 deja resto 2, porque 7 × 334 = 2338.
Divisores compuestos: 6, 12 y 15
Para un divisor compuesto, comprueba dos criterios de divisores coprimos, es decir, sin factores comunes, cuyo producto sea el divisor. El 6 es 2 × 3, el 12 es 3 × 4 y el 15 es 3 × 5. Con 2340, que termina en 0 y cuyas cifras suman 9, se cumplen el 3 y el 5, y por eso 2340 = 15 × 156.
La condición de coprimos evita contar dos veces el mismo factor. El 12 no se comprueba como 2 × 6, porque 2 y 6 comparten el factor 2. También se puede ver con el 4 y el 3, que dan 2340 = 12 × 195.
Otras dos confusiones dan un falso resultado. En el criterio del 4 no basta la última cifra, porque 1114 acaba en 4 y aun así deja resto 2, ya que 1114 = 4 × 278 + 2. Y la suma de cifras solo informa sobre el 3 y el 9, porque 16 es múltiplo de 4 y de 8 mientras que 1 + 6 = 7.
Los criterios al simplificar una fracción
Para simplificar, sirven para encontrar un divisor común sin probar a ciegas. En 45/60 los dos números acaban en 0 o en 5, así que se dividen entre 5 y queda 9/12. Las cifras de 9 y de 12 suman 9 y 3, múltiplos de 3, así que se dividen entre 3 y queda 3/4. Se dividió dos veces, entre 5 y entre 3, o lo que es lo mismo, entre 15 de una vez. Ese 15 es el máximo común divisor de 45 y 60, y la fracción obtenida es equivalente a la inicial, como explica la guía de fracciones equivalentes.
Con términos grandes, los criterios llegan solo hasta el 11. En 1001/1430, el criterio del 11 divide los dos términos y deja 91/130. El factor 13 que queda en común no lo detecta ningún criterio del 2 al 11, y por eso no se ve a simple vista. El máximo común divisor de 1001 y 1430 es 143, y con él se llega en un paso a 7/10. Si prefieres entender cómo se calcula sin criterios, la guía del algoritmo de Euclides lo explica.
Para reducir cualquier fracción al instante, usa la calculadora de simplificar fracciones. La de factores primos descompone un número, y la de divisores de un número enumera todos sus divisores positivos, de modo que sirve para comprobar el resultado de un criterio. En 2340, la lista incluye 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10, y no incluye 7, 8 ni 11. Para elegir entre MCD y MCM según la tarea, consulta la diferencia entre MCD y MCM.
Practica
- ¿Es 1248 divisible entre 8?
- ¿Es 1248 divisible entre 9?
- ¿Es 4059 divisible entre 11?
- ¿Es 5316 divisible entre 12?
- Simplifica 84/126 dividiendo por los divisores que detecten los criterios.
Ver las respuestas
- Sí. Las tres últimas cifras forman 248 = 8 × 31, y 1248 = 8 × 156.
- No. 1 + 2 + 4 + 8 = 15, que no es múltiplo de 9.
- Sí. 4 − 0 + 5 − 9 = 0, y 4059 = 11 × 369.
- Sí. 5 + 3 + 1 + 6 = 15 cumple el 3 y 16 = 4 × 4 cumple el 4, y 5316 = 12 × 443.
- Ambos son pares, y quedan 42/63. Las cifras de 42 y de 63 suman 6 y 9, así que se dividen entre 3 y quedan 14/21. Ambos son múltiplos de 7 y queda 2/3.