Un nombre est divisible par un autre lorsque la division ne laisse aucun reste. Les critères de 2 à 11 permettent de le savoir en regardant les derniers chiffres ou la somme des chiffres, sans poser la division. Le nombre 2340 est un bon exemple : il réussit presque tous les tests et n’en rate que trois, ceux de 7, de 8 et de 11. Pour les sept autres diviseurs, de 2 à 10, la réponse est oui.
| Diviseur | Le critère est vérifié si | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est pair | 538 se termine par 8, et 538 = 2 × 269 |
| 3 | La somme des chiffres est un multiple de 3 | 4 + 7 + 1 = 12, et 471 = 3 × 157 |
| 4 | Les deux derniers chiffres forment un multiple de 4 | 24 = 4 × 6, et 124 = 4 × 31 |
| 5 | Le nombre se termine par 0 ou par 5 | 835 = 5 × 167 |
| 6 | Le nombre vérifie le critère de 2 et celui de 3 | 72 est pair et 7 + 2 = 9, et 72 = 6 × 12 |
| 7 | Après avoir retiré le chiffre des unités et soustrait son double au nombre restant, on obtient un multiple de 7 | 34 − 2 × 3 = 28, et 343 = 7 × 49 |
| 8 | Les trois derniers chiffres forment un multiple de 8 | 728 = 8 × 91, et 2728 = 8 × 341 |
| 9 | La somme des chiffres est un multiple de 9 | 3 + 4 + 5 + 6 = 18, et 3456 = 9 × 384 |
| 10 | Le nombre se termine par 0 | 580 = 10 × 58 |
| 11 | Les chiffres, pris avec des signes alternés, ont une somme égale à 0 ou à un multiple de 11 | 5 − 3 + 1 − 3 = 0, et 3135 = 11 × 285 |
Les critères de 2, 5 et 10 ne regardent que le dernier chiffre, celui de 4 en regarde deux et celui de 8 en regarde trois. La raison est que 10 est un multiple de 2 et de 5, que 100 est un multiple de 4 et que 1000 est un multiple de 8 : tout ce qui précède ces chiffres est donc déjà divisible. Ceux de 3, 9 et 11 ont besoin de tous les chiffres, et la section suivante explique pourquoi.
Pourquoi les critères de 3, de 9 et de 11 fonctionnent
Les puissances de 10 laissent un reste de 1 dans la division par 9, car 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 et 1000 = 999 + 1. Un nombre et la somme de ses chiffres ont donc le même reste dans la division par 9. Dans 2340 = 2 × 999 + 3 × 99 + 4 × 9 + 9, les trois premiers termes sont des multiples de 9 : il reste à voir si la somme des chiffres en est un. Comme 999, 99 et 9 sont aussi des multiples de 3, le même raisonnement vaut pour le critère de 3.
Si la somme des chiffres reste grande, additionnez de nouveau ses chiffres. Pour 987 654, les chiffres ont pour somme 39, et ceux de 39 ont pour somme 12. Ce 12 est un multiple de 3 mais pas de 9, donc 987 654 est divisible par 3 et pas par 9. Tout multiple de 9 est un multiple de 3, mais l’inverse n’est pas toujours vrai.
Le critère de 11 suit la même idée avec un autre reste. Comme 10 = 11 − 1, le nombre 10 laisse un reste de −1, 100 un reste de 1, 1000 un reste de −1, et ainsi de suite en alternant. Additionner les chiffres avec des signes alternés donne donc le même reste que le nombre entier. Pour 2728, 2 − 7 + 2 − 8 = −11, et 2728 = 11 × 248. Dans 1001, il faut aussi alterner avec les zéros : 1 − 0 + 0 − 1 = 0, ce qui confirme que 1001 = 11 × 91. Le signe du résultat n’a pas d’importance, car −11 et 11 sont des multiples de 11.
Exemple résolu : 2340 face aux dix critères
Appliquez les critères de 2 à 11 au nombre 2340 et notez par quels nombres il est divisible.
- Regardez la fin. Il se termine par 0, donc il est divisible par 2, 5 et 10. Les deux derniers chiffres forment 40, qui vaut 4 × 10, donc il l’est aussi par 4.
- Additionnez les chiffres. 2 + 3 + 4 + 0 = 9, qui est un multiple de 3 et de 9. Comme il est en plus pair, il vérifie le critère de 6.
- Vérifiez 8. Les trois derniers chiffres forment 340, et 340 = 8 × 42 + 4. Le reste est 4, donc il n’est pas divisible par 8, même s’il l’est par 4.
- Vérifiez 7. Retirez le 0 final : il reste 234. Retirez le 4 et soustrayez son double de 23 : il reste 15, qui n’est pas un multiple de 7.
- Vérifiez 11. Alternez les signes des chiffres : 2 − 3 + 4 − 0 = 3. Ce n’est ni 0 ni un multiple de 11.
Résultat. 2340 est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 9 et 10, et il ne l’est ni par 7, ni par 8, ni par 11.
Vérification. 2340 = 9 × 260, et 2340 ÷ 8 donne 292,5, qui n’est pas un entier. Le reste dans la division par 7 est 2, car 7 × 334 = 2338.
Diviseurs composés : 6, 12 et 15
Pour un diviseur composé, vérifiez deux critères de diviseurs premiers entre eux, c’est-à-dire sans facteur commun, dont le produit est le diviseur. On a 6 = 2 × 3, 12 = 3 × 4 et 15 = 3 × 5. Le nombre 2340 se termine par 0 et ses chiffres ont pour somme 9 : il vérifie les critères de 3 et de 5, et donc 2340 = 15 × 156.
La condition « premiers entre eux » évite de compter deux fois le même facteur. On ne teste pas 12 comme 2 × 6, car 2 et 6 ont le facteur 2 en commun. On peut aussi passer par 4 et 3, qui donnent 2340 = 12 × 195.
Deux autres confusions donnent un faux résultat. Pour le critère de 4, le dernier chiffre ne suffit pas : 1114 se termine par 4 et laisse pourtant un reste de 2, car 1114 = 4 × 278 + 2. Et la somme des chiffres ne renseigne que sur 3 et 9 : 16 est un multiple de 4 et de 8, alors que 1 + 6 = 7.
Les critères pour simplifier une fraction
Pour simplifier, ils permettent de trouver un diviseur commun sans essayer au hasard. Dans 45/60, les deux nombres se terminent par 0 ou par 5, donc on les divise par 5 et il reste 9/12. Les chiffres de 9 et de 12 ont pour sommes 9 et 3, des multiples de 3, donc on divise par 3 et il reste 3/4. On a divisé deux fois, par 5 puis par 3, soit par 15 en une seule fois. Ce 15 est le PGCD de 45 et 60, et la fraction obtenue est égale à la fraction de départ, comme l’explique le guide sur les fractions équivalentes.
Avec de grands termes, les critères s’arrêtent à 11. Dans 1001/1430, le critère de 11 divise les deux termes et laisse 91/130. Le facteur 13 qu’ils ont encore en commun n’est détecté par aucun critère de 2 à 11, c’est pourquoi on ne le voit pas à l’œil nu. Le PGCD de 1001 et 1430 vaut 143, et il mène en une étape à 7/10. Pour comprendre comment le calculer sans critères, le guide sur l’algorithme d’Euclide l’explique.
Pour réduire n’importe quelle fraction instantanément, utilisez le calculateur pour simplifier une fraction. Celui de la décomposition en facteurs premiers décompose un nombre, et celui des diviseurs d’un nombre liste tous ses diviseurs positifs, ce qui permet de contrôler le résultat d’un critère. Pour 2340, la liste contient 2, 3, 4, 5, 6, 9 et 10, mais ni 7, ni 8, ni 11. Pour choisir entre PGCD et PPCM selon la tâche, consultez la différence entre PGCD et PPCM.
Entraînez-vous
- 1248 est-il divisible par 8 ?
- 1248 est-il divisible par 9 ?
- 4059 est-il divisible par 11 ?
- 5316 est-il divisible par 12 ?
- Simplifiez 84/126 en divisant par les diviseurs que détectent les critères.
Voir les réponses
- Oui. Les trois derniers chiffres forment 248 = 8 × 31, et 1248 = 8 × 156.
- Non. 1 + 2 + 4 + 8 = 15, qui n’est pas un multiple de 9.
- Oui. 4 − 0 + 5 − 9 = 0, et 4059 = 11 × 369.
- Oui. 5 + 3 + 1 + 6 = 15 vérifie le critère de 3 et 16 = 4 × 4 vérifie celui de 4, et 5316 = 12 × 443.
- Les deux nombres sont pairs, et il reste 42/63. Les chiffres de 42 et de 63 ont pour sommes 6 et 9, donc on divise par 3 et il reste 14/21. Les deux sont des multiples de 7, et il reste 2/3.