Sebuah bilangan habis dibagi bilangan lain jika pembagiannya tidak bersisa. Ciri-ciri untuk 2 sampai 11 menentukannya dari angka-angka terakhir atau jumlah angkanya, tanpa membagi. Bilangan 2340 cocok sebagai contoh karena lolos hampir semua ciri dan gagal hanya di tiga. Bilangan ini habis dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 9, dan 10, tetapi tidak habis dibagi 7, 8, maupun 11.
| Pembagi | Terpenuhi jika | Contoh |
|---|---|---|
| 2 | Angka satuannya genap | 538 berakhir dengan 8, dan 538 = 2 × 269 |
| 3 | Jumlah angkanya kelipatan 3 | 4 + 7 + 1 = 12, dan 471 = 3 × 157 |
| 4 | Dua angka terakhir membentuk kelipatan 4 | 24 = 4 × 6, dan 124 = 4 × 31 |
| 5 | Berakhir dengan 0 atau 5 | 835 = 5 × 167 |
| 6 | Memenuhi ciri 2 dan ciri 3 | 72 genap dan 7 + 2 = 9, dan 72 = 6 × 12 |
| 7 | Setelah angka terakhir dibuang dan dua kali angka itu dikurangkan dari sisanya, hasilnya kelipatan 7 | 34 − 2 × 3 = 28, dan 343 = 7 × 49 |
| 8 | Tiga angka terakhir membentuk kelipatan 8 | 728 = 8 × 91, dan 2728 = 8 × 341 |
| 9 | Jumlah angkanya kelipatan 9 | 3 + 4 + 5 + 6 = 18, dan 3456 = 9 × 384 |
| 10 | Berakhir dengan 0 | 580 = 10 × 58 |
| 11 | Angka-angka dengan tanda berselang-seling berjumlah 0 atau kelipatan 11 | 5 − 3 + 1 − 3 = 0, dan 3135 = 11 × 285 |
Ciri 2, 5, dan 10 hanya melihat angka terakhir, ciri 4 melihat dua angka, dan ciri 8 melihat tiga angka. Alasannya, 10 kelipatan 2 dan 5, 100 kelipatan 4, dan 1000 kelipatan 8, sehingga semua bagian di depan angka-angka itu sudah habis dibagi. Ciri 3, 9, dan 11 memerlukan semua angka, dan alasannya dijelaskan di bawah. Jika sebuah ciri tidak terpenuhi, bilangan itu pasti tidak habis dibagi pembagi tersebut.
Mengapa ciri 3, 9, dan 11 berlaku
Pangkat 10 bersisa 1 jika dibagi 9, karena 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, dan 1000 = 999 + 1. Karena itu sebuah bilangan dan jumlah angkanya bersisa sama jika dibagi 9. Pada 2340 = 2 × 999 + 3 × 99 + 4 × 9 + 9, tiga suku pertama kelipatan 9, sehingga tinggal memeriksa apakah jumlah angkanya kelipatan 9. Karena 999, 99, dan 9 juga kelipatan 3, alasan yang sama berlaku untuk ciri 3.
Jika jumlah angkanya masih besar, jumlahkan lagi. Pada 987.654, angka-angkanya berjumlah 39, dan angka-angka 39 berjumlah 12. Bilangan 12 kelipatan 3 tetapi bukan kelipatan 9, jadi 987.654 habis dibagi 3 dan tidak habis dibagi 9. Setiap kelipatan 9 pasti kelipatan 3, tetapi kebalikannya tidak selalu benar.
Ciri 11 memakai gagasan yang sama dengan sisa yang berbeda. Karena 10 = 11 − 1, bilangan 10 bersisa −1, 100 bersisa 1, 1000 bersisa −1, dan seterusnya berselang-seling. Jadi menjumlahkan angka dengan tanda berselang-seling menghasilkan sisa yang sama dengan bilangan aslinya. Pada 2728: 2 − 7 + 2 − 8 = −11, dan 2728 = 11 × 248. Pada 1001, nol juga harus ikut berselang-seling: 1 − 0 + 0 − 1 = 0, dan itu membenarkan 1001 = 11 × 91. Tanda hasilnya tidak berpengaruh, sebab −11 dan 11 sama-sama kelipatan 11.
Contoh soal: 2340 diuji dengan kesepuluh ciri
Terapkan ciri 2 sampai 11 pada bilangan 2340 dan catat pembagi mana saja yang membaginya.
- Lihat ujungnya. Berakhir dengan 0, jadi habis dibagi 2, 5, dan 10. Dua angka terakhir membentuk 40, yaitu 4 × 10, jadi habis dibagi 4 juga.
- Jumlahkan angkanya. 2 + 3 + 4 + 0 = 9, kelipatan 3 dan 9. Karena bilangannya juga genap, ciri 6 terpenuhi.
- Periksa 8. Tiga angka terakhir membentuk 340, dan 340 = 8 × 42 + 4. Sisanya 4, jadi tidak habis dibagi 8 meskipun habis dibagi 4.
- Periksa 7. Buang 0 di ujung sehingga tersisa 234. Buang 4 lalu kurangkan dua kali 4 dari 23, hasilnya 15, bukan kelipatan 7.
- Periksa 11. Beri tanda berselang-seling pada angka-angkanya: 2 − 3 + 4 − 0 = 3. Hasilnya bukan 0 dan bukan kelipatan 11.
Jawaban. 2340 habis dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 9, dan 10, serta tidak habis dibagi 7, 8, maupun 11.
Pemeriksaan. 2340 = 9 × 260, dan 2340 ÷ 8 = 292,5, bukan bilangan bulat. Pembagian oleh 7 bersisa 2, karena 7 × 334 = 2338.
Pembagi komposit: 6, 12, dan 15
Untuk pembagi komposit, periksa dua ciri dari dua pembagi yang saling prima, yaitu pembagi yang tidak punya faktor persekutuan, dan hasil kalinya sama dengan pembagi yang diuji. Bilangan 6 dapat ditulis 2 × 3, 12 sebagai 3 × 4, dan 15 sebagai 3 × 5. Pada contoh 2340, yang berakhir dengan angka 0 dan jumlah angkanya 9, ciri 3 dan ciri 5 terpenuhi, sehingga 2340 = 15 × 156.
Syarat bahwa pembagi-pembagi itu saling prima mencegah satu faktor yang sama terhitung dua kali. Bilangan 12 tidak boleh diperiksa sebagai pasangan 2 × 6, karena 2 dan 6 sama-sama memuat faktor 2 di dalamnya. Hal yang sama juga bisa dilihat dengan memakai pasangan 4 dan 3, yang memberi 2340 = 12 × 195.
Dua kekeliruan lain memberi hasil palsu. Pada ciri 4, angka terakhir saja tidak cukup, sebab 1114 berakhir dengan 4 tetapi bersisa 2, karena 1114 = 4 × 278 + 2. Dan jumlah angka hanya berguna untuk 3 dan 9, sebab 16 kelipatan 4 dan 8 padahal 1 + 6 = 7.
Ciri-ciri saat menyederhanakan pecahan
Saat menyederhanakan, ciri-ciri ini membantu menemukan pembagi persekutuan tanpa menebak. Pada 45/60, kedua bilangan berakhir dengan 0 atau 5, jadi keduanya dibagi 5 dan diperoleh 9/12. Jumlah angka 9 dan 12 adalah 9 dan 3, kelipatan 3, jadi keduanya dibagi 3 dan diperoleh 3/4. Pembagian dilakukan dua kali, dengan 5 dan 3, atau sama saja sekaligus dengan 15, sehingga tidak perlu menebak pembagi satu per satu. Bilangan 15 itu adalah FPB dari 45 dan 60, dan pecahan yang diperoleh senilai dengan pecahan awal, seperti dijelaskan di panduan pecahan senilai.
Untuk pembilang dan penyebut yang besar, ciri-ciri hanya sampai 11. Pada 1001/1430, ciri 11 membagi pembilang dan penyebut, lalu menyisakan 91/130, dengan 91 = 7 × 13 dan 130 = 10 × 13. Faktor persekutuan 13 yang tersisa tidak terdeteksi oleh ciri mana pun dari 2 sampai 11, sehingga tidak kelihatan sekilas. FPB dari 1001 dan 1430 adalah 143, dan dengan itu 7/10 diperoleh dalam satu langkah. Jika kamu ingin memahami cara menghitungnya tanpa ciri-ciri, panduan algoritma Euclid menjelaskannya.
Untuk menyederhanakan pecahan apa pun seketika, pakai kalkulator menyederhanakan pecahan. Kalkulator faktorisasi prima menguraikan sebuah bilangan, dan kalkulator faktor bilangan mendaftar semua faktor positifnya, sehingga berguna untuk memeriksa hasil sebuah ciri. Pada 2340, daftarnya memuat 2, 3, 4, 5, 6, 9, dan 10, serta tidak memuat 7, 8, maupun 11. Untuk memilih antara FPB dan KPK sesuai tugasnya, baca perbedaan FPB dan KPK.
Latihan
- Apakah 1248 habis dibagi 8?
- Apakah 1248 habis dibagi 9?
- Apakah 4059 habis dibagi 11?
- Apakah 5316 habis dibagi 12?
- Sederhanakan 84/126 dengan membagi memakai pembagi yang terdeteksi oleh ciri-ciri.
Lihat jawaban
- Ya. Tiga angka terakhir membentuk 248 = 8 × 31, dan 1248 = 8 × 156.
- Tidak. 1 + 2 + 4 + 8 = 15, bukan kelipatan 9.
- Ya. 4 − 0 + 5 − 9 = 0, dan 4059 = 11 × 369.
- Ya. 5 + 3 + 1 + 6 = 15 memenuhi ciri 3, dan 16 = 4 × 4 memenuhi ciri 4, dan 5316 = 12 × 443.
- Keduanya genap, sehingga menjadi 42/63. Jumlah angka 42 dan 63 adalah 6 dan 9, jadi keduanya dibagi 3 dan menjadi 14/21. Keduanya kelipatan 7, sehingga hasilnya 2/3.