Um número é divisível por outro quando a divisão não deixa resto. Os critérios do 2 ao 11 decidem isso olhando os últimos algarismos ou a soma dos algarismos, sem dividir. O 2340 serve de exemplo porque passa quase todos e falha em apenas três: o do 7, o do 8 e o do 11. Para os outros sete divisores, do 2 ao 10, a resposta é sim.
| Divisor | Vale se | Exemplo |
|---|---|---|
| 2 | O último algarismo é par | 538 termina em 8, e 538 = 2 × 269 |
| 3 | A soma dos algarismos é múltiplo de 3 | 4 + 7 + 1 = 12, e 471 = 3 × 157 |
| 4 | Os dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4 | 24 = 4 × 6, e 124 = 4 × 31 |
| 5 | Termina em 0 ou em 5 | 835 = 5 × 167 |
| 6 | Cumpre o critério do 2 e o do 3 | 72 é par e 7 + 2 = 9, e 72 = 6 × 12 |
| 7 | Ao retirar o último algarismo e subtrair o dobro dele do resto, sobra um múltiplo de 7 | 34 − 2 × 3 = 28, e 343 = 7 × 49 |
| 8 | Os três últimos algarismos formam um múltiplo de 8 | 728 = 8 × 91, e 2728 = 8 × 341 |
| 9 | A soma dos algarismos é múltiplo de 9 | 3 + 4 + 5 + 6 = 18, e 3456 = 9 × 384 |
| 10 | Termina em 0 | 580 = 10 × 58 |
| 11 | Os algarismos com sinais alternados somam 0 ou um múltiplo de 11 | 5 − 3 + 1 − 3 = 0, e 3135 = 11 × 285 |
Os critérios do 2, 5 e 10 olham só o último algarismo, o do 4 olha dois e o do 8 olha três. A razão é que 10 é múltiplo de 2 e de 5, 100 é múltiplo de 4 e 1000 é múltiplo de 8, de modo que tudo o que fica antes desses algarismos já é divisível. Os do 3, 9 e 11 precisam de todos os algarismos, e mais abaixo se vê por quê.
Por que funcionam os critérios do 3, do 9 e do 11
As potências de 10 deixam resto 1 na divisão por 9, porque 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 e 1000 = 999 + 1. Por isso um número e a soma dos seus algarismos deixam o mesmo resto na divisão por 9. Em 2340 = 2 × 999 + 3 × 99 + 4 × 9 + 9, as três primeiras parcelas são múltiplos de 9 e falta só ver se a soma dos algarismos é. Como 999, 99 e 9 também são múltiplos de 3, o mesmo argumento vale para o critério do 3.
Se a soma dos algarismos ainda for grande, some de novo. Em 987.654, os algarismos somam 39 e os de 39 somam 12. Esse 12 é múltiplo de 3 e não de 9, então 987.654 é divisível por 3 e não por 9. Todo múltiplo de 9 é múltiplo de 3, mas o contrário nem sempre vale.
O 11 segue a mesma ideia com outro resto. Como 10 = 11 − 1, o número 10 deixa resto −1, 100 deixa resto 1, 1000 deixa resto −1, e assim sucessivamente, alternando. Somar os algarismos com sinais alternados dá então o mesmo resto que o número inteiro. Em 2728, 2 − 7 + 2 − 8 = −11, e 2728 = 11 × 248. Em 1001 é preciso alternar também com os zeros, 1 − 0 + 0 − 1 = 0, e isso confirma que 1001 = 11 × 91. O sinal do resultado não importa, porque −11 e 11 são múltiplos de 11.
Exemplo resolvido: 2340 contra os dez critérios
Aplique os critérios do 2 ao 11 ao número 2340 e anote por quais divisores ele é divisível.
- Olhe o final. Termina em 0, então é divisível por 2, 5 e 10. Os dois últimos algarismos formam 40, que é 4 × 10, então também é divisível por 4.
- Some os algarismos. 2 + 3 + 4 + 0 = 9, que é múltiplo de 3 e de 9. Como além disso é par, cumpre o critério do 6.
- Verifique o 8. Os três últimos algarismos formam 340, e 340 = 8 × 42 + 4. Deixa resto 4, então não é divisível por 8, embora seja por 4.
- Verifique o 7. Retire o 0 final e sobra 234. Retire o 4 e subtraia o dobro dele de 23, e sobra 15, que não é múltiplo de 7.
- Verifique o 11. Alterne os sinais dos algarismos e fica 2 − 3 + 4 − 0 = 3. Não é 0 nem múltiplo de 11.
Resultado. 2340 é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10, e não é divisível por 7, 8 nem 11.
Verificação. 2340 = 9 × 260, e 2340 ÷ 8 dá 292,5, que não é inteiro. O 7 deixa resto 2, porque 7 × 334 = 2338.
Divisores compostos: 6, 12 e 15
Para um divisor composto, verifique dois critérios de divisores primos entre si, isto é, sem fatores comuns, cujo produto seja o divisor. O 6 é 2 × 3, o 12 é 3 × 4 e o 15 é 3 × 5. Com 2340, que termina em 0 e tem algarismos que somam 9, valem o 3 e o 5, e por isso 2340 = 15 × 156.
A condição de serem primos entre si evita contar duas vezes o mesmo fator. O 12 não se verifica como 2 × 6, porque 2 e 6 têm o fator 2 em comum. Também se pode ver com o 4 e o 3, que dão 2340 = 12 × 195.
Duas outras confusões levam a um falso resultado. No critério do 4 não basta o último algarismo, porque 1114 termina em 4 e mesmo assim deixa resto 2, já que 1114 = 4 × 278 + 2. E a soma dos algarismos só informa sobre o 3 e o 9, porque 16 é múltiplo de 4 e de 8, enquanto 1 + 6 = 7.
Os critérios ao simplificar uma fração
Na simplificação, servem para encontrar um divisor comum sem tentar às cegas. Em 45/60, os dois números terminam em 0 ou em 5, então se dividem por 5 e sobra 9/12. Os algarismos de 9 e de 12 somam 9 e 3, múltiplos de 3, então se dividem por 3 e sobra 3/4. Dividiu-se duas vezes, por 5 e por 3, ou seja, por 15 de uma só vez. Esse 15 é o máximo divisor comum (MDC) de 45 e 60, e a fração obtida é equivalente à inicial, como explica o guia de frações equivalentes.
Com termos grandes, os critérios vão só até o 11. Em 1001/1430, o critério do 11 divide os dois termos e deixa 91/130. O fator 13 que fica em comum não é detectado por nenhum critério do 2 ao 11, e por isso não se vê a olho nu. O máximo divisor comum de 1001 e 1430 é 143, e com ele se chega em um passo a 7/10. Para entender como calculá-lo sem critérios, o guia do algoritmo de Euclides explica.
Para reduzir qualquer fração na hora, use a calculadora de simplificar frações. A de fatoração prima decompõe um número, e a de divisores de um número lista todos os seus divisores positivos, o que serve para conferir o resultado de um critério. Em 2340, a lista inclui 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10, e não inclui 7, 8 nem 11. Para escolher entre MDC e MMC conforme a tarefa, veja a diferença entre MDC e MMC. Em Portugal, as siglas costumam aparecer como m.d.c. e m.m.c.
Pratique
- 1248 é divisível por 8?
- 1248 é divisível por 9?
- 4059 é divisível por 11?
- 5316 é divisível por 12?
- Simplifique 84/126 dividindo pelos divisores que os critérios detectarem.
Ver as respostas
- Sim. Os três últimos algarismos formam 248 = 8 × 31, e 1248 = 8 × 156.
- Não. 1 + 2 + 4 + 8 = 15, que não é múltiplo de 9.
- Sim. 4 − 0 + 5 − 9 = 0, e 4059 = 11 × 369.
- Sim. 5 + 3 + 1 + 6 = 15 cumpre o 3 e 16 = 4 × 4 cumpre o 4, e 5316 = 12 × 443.
- Ambos são pares, e ficam 42/63. Os algarismos de 42 e de 63 somam 6 e 9, então se dividem por 3 e ficam 14/21. Ambos são múltiplos de 7 e sobra 2/3.