Escreva um inteiro entre 1 e 1.000.000.000.000 (10¹²) e selecione “Calcular”. Para a lista completa de divisores, use a calculadora de divisores.
Exemplo resolvido: 360 em fatores primos
Escreva 360 como produto de números primos.
- Divida por 2 enquanto for possível. 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90 e 90 ÷ 2 = 45. O 45 é ímpar, então o 2 se esgota com expoente 3.
- Passe para o 3. 45 ÷ 3 = 15 e 15 ÷ 3 = 5. O 3 aparece duas vezes.
- Sobra um primo. O 5 só é divisível por 1 e por ele mesmo.
- Agrupe os fatores repetidos. 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5.
Resultado: 360 = 2³ × 3² × 5. No resultado da ferramenta aparece como 2^3 × 3^2 × 5.
Conferência: 8 × 9 × 5 = 72 × 5 = 360. A conferência do resultado repete essa mesma multiplicação.
O método é sempre o mesmo: testa-se o 2 e depois os ímpares 3, 5, 7, 9…, e para-se quando o quadrado do candidato passa do que falta dividir. O que sobra nesse ponto é um primo.
O resultado não depende do caminho
Também dá para começar com 360 = 36 × 10, e depois 36 = 4 × 9, 4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3 e 10 = 2 × 5. As folhas da árvore são de novo três fatores 2, dois fatores 3 e um 5. Esse é o teorema fundamental da aritmética: a árvore muda de forma, mas o produto de potências de primos é sempre o mesmo. Por isso se pode comparar a decomposição de dois números para tirar o MDC ou o MMC.
Primo, composto ou nenhum dos dois
Um número é composto se tem algum divisor diferente de 1 e dele mesmo. Para decidir, não é preciso testar todos os inteiros: se n = a × b, um dos dois fatores é menor ou igual à raiz quadrada de n. Para 97, a raiz fica entre 9 e 10, porque 9² = 81 e 10² = 100. Os primos 2, 3, 5 e 7 deixam restos 1, 1, 2 e 6, então 97 é primo. Os critérios de divisibilidade descartam o 2, o 3 e o 5 à primeira vista.
| Número | Decomposição | O que mostra |
|---|---|---|
| 97 | 97 | Primo: nenhum primo até 7 o divide |
| 91 | 7 × 13 | Composto que parece primo |
| 1001 | 7 × 11 × 13 | Três primos consecutivos |
| 1024 | 2^10 | Potência de um único primo |
| 999.999 | 3^3 × 7 × 11 × 13 × 37 | Seis algarismos, cinco primos distintos |
| 1 | sem fatores | Nem primo nem composto |
Se a lista tem um único fator sem expoente, o número é primo; se tem um único primo com expoente, como 1024, é uma potência desse primo.
O que dá para tirar da decomposição
Com 18 = 2 × 3² e 24 = 2³ × 3, o MDC toma cada primo comum com o menor expoente, 2 × 3 = 6, e o MMC toma todos com o maior, 2³ × 3² = 72. Esta página não calcula esses dois valores; para obtê-los direto, use a calculadora de MDC ou a de MMC. Com o MDC igual a 6, simplifica-se 18/24 em 3/4 na ferramenta de simplificar frações.
Os expoentes também contam divisores: some 1 a cada um e multiplique. Com os expoentes 3, 2 e 1 de 360, saem (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 divisores, e a lista completa está na calculadora de divisores. E se todos os expoentes são pares, o número é um quadrado perfeito: 144 = 2⁴ × 3² = (2² × 3)².
Como funciona com números grandes
A busca é por divisão de teste. Nenhum candidato passa da raiz quadrada. No limite de 10¹², são cerca de 500.000 testes no máximo, porque só se testam o 2 e os ímpares. Se um cálculo demorar, aparece o botão “Cancelar cálculo”. Um número maior que 10¹² fica sem veredito de primo ou composto. Como exemplo, 10¹² = 2^12 × 5^12 e 999.999.999.989 é primo.
Perguntas frequentes
Por que o 1 não é considerado primo?
Um primo tem exatamente dois divisores positivos, o 1 e ele mesmo, e o 1 tem só um. Além disso, se o 1 fosse primo, a decomposição de 10 não seria única: 2 × 5, 1 × 2 × 5, 1 × 1 × 2 × 5, e assim sem fim. Por isso a lista de fatores primos do 1 fica vazia.
Posso decompor um número negativo, um decimal ou o zero?
Não, só são aceitos inteiros positivos. Para um negativo, decomponha o valor absoluto e acrescente o sinal: −50 = −(2 × 5²). O zero não tem decomposição, porque todos os primos o dividem. Com um decimal, escreva-o antes como fração (0,6 = 3/5) e decomponha numerador e denominador separadamente.