Os divisores de um número são os inteiros positivos que o dividem sem deixar resto. Os de 36 são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36, nove no total. A lista sai em ordem crescente e com o total em baixo, e serve para decidir se um número é primo, repartir em grupos iguais e comparar dois números antes de buscar o máximo divisor comum. Para escrever o número como produto de primos, use a decomposição em fatores primos; aqui saem todos os divisores.
Exemplo resolvido: os divisores de 36
Quer dispor 36 cadeiras em filas completas, todas com o mesmo número de cadeiras. Quantas filas são possíveis?
- Teste do 1 ao 6. Como √36 = 6, não é preciso ir além. Dividem 36 o 1, o 2, o 3, o 4 e o 6.
- Calcule o par de cada um. 36 ÷ 1 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 36 ÷ 3 = 12, 36 ÷ 4 = 9 e 36 ÷ 6 = 6.
- Junte e tire o repetido. O 6 aparece duas vezes porque 6 × 6 = 36, e conta-se uma só vez.
- Ordene. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
Resultado: 9 divisores, ou seja, 9 maneiras de formar as filas.
Conferência: 36 = 2² × 3², então (2 + 1)(2 + 1) = 9, o mesmo total.
Contar divisores pelos expoentes
Para saber quantos divisores um número tem, não é preciso listá-los. Fatore o número, some 1 a cada expoente e multiplique os resultados. Em 360 = 2³ × 3² × 5 resulta (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24. Funciona porque cada divisor escolhe, para cada primo, um expoente entre 0 e o que o número tem, e as escolhas se multiplicam. A calculadora gera a lista com esse método, confere que cada valor divide o número e que o total coincide com a contagem. Se precisar dos expoentes, a calculadora de decomposição em fatores primos os fornece.
Primos, quadrados e números perfeitos
| Tipo | Exemplo | O que se vê na lista |
|---|---|---|
| Primo | 13 | Só 1 e 13 |
| Quadrado perfeito | 100 | 9 divisores, quantidade ímpar por causa do par 10 × 10 |
| Potência de 2 | 64 | 7 divisores, todos potências de 2 |
| Número perfeito | 28 | 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, a soma dos demais divisores |
Os números perfeitos são raros, e depois do 28 vem o 496. O caso que mais confunde é o quadrado, porque o par central não traz dois divisores distintos.
Divisores comuns e MDC
Os divisores comuns de dois números são os que aparecem nas duas listas, e o maior deles é o MDC. Os de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Comparando com os de 36, coincidem 1, 2, 3, 4, 6 e 12, então o MDC (m.d.c. em Portugal) de 36 e 60 é 12. Com ele se simplifica: 36/60 = 3/5, dividindo em cima e em baixo por 12. Esta calculadora lista um número por vez; para o MDC direto de vários números, use a de máximo divisor comum, e para os múltiplos comuns, a de mínimo múltiplo comum, porque os divisores de um número acabam e seus múltiplos não. Para reduzir uma fração em um passo, há simplificar frações.
Antes de listar, os critérios de divisibilidade mostram de relance se 2, 3, 5, 9 ou 10 são divisores.
Divisores de números frequentes
| Número | Divisores | Total |
|---|---|---|
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 72 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 | 12 |
| 120 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 | 16 |
| 180 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 | 18 |
Quanto mais divisores pequenos um número tem, mais repartições admite. O 24 pode ser dividido em 8 partes iguais e o 180 em 18, além de muitas outras maneiras.
O zero e os negativos
O 0 não é aceito porque todo inteiro diferente de zero o divide, então sua lista não teria fim. Um negativo como −36 tem os mesmos divisores de 36 com sinal de menos, de modo que se escreve 36 e se acrescenta o sinal depois. Se o campo receber um 0 ou um número negativo, a calculadora não devolve lista e mostra um aviso de entrada inválida.
Perguntas frequentes
A lista inclui o 1 e o próprio número?
Sim. O 1 e o próprio número sempre dividem n, então toda lista começa em 1 e termina em n. Um número com apenas esses dois divisores é primo: 23 tem o 1 e o 23. O 1 é a exceção, porque sua lista tem um único elemento e por isso não é considerado primo.
Por que um quadrado perfeito tem uma quantidade ímpar de divisores?
Os divisores se juntam em pares de modo que cada par multiplica n. Em um quadrado, um dos pares é a raiz com ela mesma e não se repete. Com 49, os pares são 1 × 49 e 7 × 7, e os divisores são 1, 7 e 49: três, uma quantidade ímpar.
Como conto os divisores sem escrevê-los todos?
Decomponha o número em fatores primos, some 1 a cada expoente e multiplique. Com 2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11, cada expoente é 1, então resultam 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 divisores. Com um só primo repetido, como 3⁴, seriam 4 + 1 = 5 divisores.