Die Teiler einer Zahl sind die positiven ganzen Zahlen, die sie ohne Rest teilen. Die von 36 sind 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36, insgesamt neun. Die Liste erscheint sortiert, die Anzahl steht darunter. Du nutzt sie, um zu entscheiden, ob eine Zahl prim ist, um in gleich große Gruppen aufzuteilen und um zwei Zahlen zu vergleichen, bevor du ihren größten gemeinsamen Teiler suchst. Willst du die Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben, nimm die Primfaktorzerlegung; hier bekommst du alle Teiler.
Rechenbeispiel: die Teiler von 36
Du willst 36 Stühle in vollständigen Reihen aufstellen, jede Reihe mit gleich vielen Stühlen. Wie viele Aufteilungen sind möglich?
- Probiere von 1 bis 6. Wegen √36 = 6 musst du nicht weitergehen. 36 teilen die 1, die 2, die 3, die 4 und die 6.
- Berechne zu jedem das Gegenstück. 36 ÷ 1 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 36 ÷ 3 = 12, 36 ÷ 4 = 9 und 36 ÷ 6 = 6.
- Fasse zusammen und streiche das Doppelte. Die 6 kommt zweimal vor, weil 6 × 6 = 36, und wird nur einmal gezählt.
- Sortiere. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36.
Ergebnis: 9 Teiler, also 9 Möglichkeiten, die Reihen zu bilden.
Probe: 36 = 2² × 3², also (2 + 1)(2 + 1) = 9, dieselbe Anzahl.
Teiler über die Exponenten zählen
Um die Anzahl der Teiler zu kennen, musst du sie nicht aufschreiben. Zerlege die Zahl in Primfaktoren, erhöhe jeden Exponenten um 1 und multipliziere die Ergebnisse. Bei 360 = 2³ × 3² × 5 ergibt sich (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24. Das funktioniert, weil jeder Teiler für jede Primzahl einen Exponenten zwischen 0 und dem Exponenten in der Zahl wählt und sich die Möglichkeiten multiplizieren. Der Rechner erzeugt die Liste mit diesem Verfahren, prüft, dass jeder Wert die Zahl teilt, und dass die Anzahl mit der Rechnung übereinstimmt. Brauchst du die Exponenten, liefert sie der Rechner zur Primfaktorzerlegung.
Primzahlen, Quadratzahlen und vollkommene Zahlen
| Art | Beispiel | Was du in der Liste siehst |
|---|---|---|
| Primzahl | 13 | Nur 1 und 13 |
| Quadratzahl | 100 | 9 Teiler, ungerade Anzahl wegen des Paars 10 × 10 |
| Zweierpotenz | 64 | 7 Teiler, alle Potenzen von 2 |
| Vollkommene Zahl | 28 | 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, die Summe der übrigen Teiler |
Eine Primzahlpotenz hat wenige Teiler: 121 = 11² hat nur 2 + 1 = 3 Teiler (1, 11 und 121). Vollkommene Zahlen sind selten, nach der 28 kommt die 496. Leicht übersehen wird bei der Quadratzahl, dass ihr mittleres Paar nicht zwei verschiedene Teiler liefert.
Gemeinsame Teiler und ggT
Die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen sind die, die in beiden Listen vorkommen, und der größte von ihnen ist der ggT. Die Teiler von 60 sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Im Vergleich mit denen von 36 stimmen 1, 2, 3, 4, 6 und 12 überein, also ist der ggT von 36 und 60 gleich 12. Damit kürzt du: 36/60 = 3/5, indem du Zähler und Nenner durch 12 teilst. Dieser Rechner listet immer nur eine Zahl auf; für den direkten ggT mehrerer Zahlen nimmst du den ggT-Rechner, für gemeinsame Vielfache den kgV-Rechner, denn die Teiler einer Zahl sind endlich viele, ihre Vielfachen nicht. Um einen Bruch in einem Schritt zu kürzen, gibt es Brüche kürzen.
Vor dem Auflisten zeigen dir die Teilbarkeitsregeln auf einen Blick, ob 2, 3, 5, 9 oder 10 Teiler sind.
Teiler häufiger Zahlen
| Zahl | Teiler | Anzahl |
|---|---|---|
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 72 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 | 12 |
| 120 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 | 16 |
| 180 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 | 18 |
Je mehr kleine Teiler eine Zahl hat, desto mehr Aufteilungen erlaubt sie. Die 24 lässt sich in 8 und die 180 in 18 gleich große Teile aufteilen, jeweils neben vielen anderen Möglichkeiten.
Null und negative Zahlen
Die 0 wird nicht akzeptiert, weil jede ganze Zahl ungleich null sie teilt und ihre Liste daher nie enden würde. Eine negative Zahl wie −36 hat dieselben Teiler wie 36 mit Minuszeichen. Gib also 36 ein und setze das Vorzeichen selbst. Gibst du eine 0 oder eine negative Zahl ein, erscheint keine Liste, sondern ein Hinweis auf eine ungültige Eingabe.
Häufige Fragen
Gehören die 1 und die Zahl selbst zur Liste?
Ja. Die 1 und die Zahl selbst teilen n immer, also beginnt jede Liste mit 1 und endet mit n. Eine Zahl mit nur diesen beiden Teilern ist eine Primzahl: 23 hat die 1 und die 23. Die 1 ist die Ausnahme, denn ihre Liste hat nur ein Element, deshalb gilt sie nicht als Primzahl.
Warum hat eine Quadratzahl eine ungerade Anzahl von Teilern?
Die Teiler werden so zu Paaren geordnet, dass jedes Paar das Produkt n hat. Bei einer Quadratzahl ist ein Paar die Wurzel mit sich selbst und kommt nicht doppelt vor. Bei 49 lauten die Paare 1 × 49 und 7 × 7, die Teiler sind 1, 7 und 49: drei, also eine ungerade Anzahl.
Wie zähle ich die Teiler, ohne sie alle aufzuschreiben?
Zerlege die Zahl in Primfaktoren, erhöhe jeden Exponenten um 1 und multipliziere. Bei 2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 ist jeder Exponent 1, also ergibt sich 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 Teiler. Bei einer einzelnen wiederholten Primzahl wie 3⁴ wären es 4 + 1 = 5 Teiler.