Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn die Division ohne Rest aufgeht. Die Regeln für 2 bis 11 entscheiden das anhand der letzten Ziffern oder der Quersumme, ganz ohne Rechnen. Als Beispiel dient 2340, denn die Zahl besteht fast alle Regeln und scheitert nur an dreien: Bei 7, 8 und 11 bleibt ein Rest, bei 2, 3, 4, 5, 6, 9 und 10 geht die Division auf.
| Teiler | Teilbar, wenn | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | die letzte Ziffer gerade ist | 538 endet auf 8, und 538 = 2 × 269 |
| 3 | die Quersumme ein Vielfaches von 3 ist | 4 + 7 + 1 = 12, und 471 = 3 × 157 |
| 4 | die letzten beiden Ziffern ein Vielfaches von 4 bilden | 24 = 4 × 6, und 124 = 4 × 31 |
| 5 | die Zahl auf 0 oder 5 endet | 835 = 5 × 167 |
| 6 | die Regel für 2 und die Regel für 3 erfüllt sind | 72 ist gerade und 7 + 2 = 9, und 72 = 6 × 12 |
| 7 | nach dem Streichen der letzten Ziffer und dem Abziehen ihres Doppelten vom Rest ein Vielfaches von 7 bleibt | 34 − 2 × 3 = 28, und 343 = 7 × 49 |
| 8 | die letzten drei Ziffern ein Vielfaches von 8 bilden | 728 = 8 × 91, und 2728 = 8 × 341 |
| 9 | die Quersumme ein Vielfaches von 9 ist | 3 + 4 + 5 + 6 = 18, und 3456 = 9 × 384 |
| 10 | die Zahl auf 0 endet | 580 = 10 × 58 |
| 11 | die Ziffern mit abwechselnden Vorzeichen 0 oder ein Vielfaches von 11 ergeben | 5 − 3 + 1 − 3 = 0, und 3135 = 11 × 285 |
Die Regeln für 2, 5 und 10 schauen nur auf die letzte Ziffer, die für 4 auf zwei Ziffern und die für 8 auf drei. Der Grund: 10 ist ein Vielfaches von 2 und 5, 100 eines von 4 und 1000 eines von 8, sodass alles, was vor diesen Ziffern steht, schon teilbar ist. Die Regeln für 3, 9 und 11 brauchen alle Ziffern; warum, steht weiter unten.
Warum die Regeln für 3, 9 und 11 funktionieren
Zehnerpotenzen lassen bei Division durch 9 den Rest 1, denn 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 und 1000 = 999 + 1. Deshalb lassen eine Zahl und ihre Quersumme bei Division durch 9 denselben Rest. Bei 2340 = 2 × 999 + 3 × 99 + 4 × 9 + 9 sind die ersten drei Summanden Vielfache von 9, und es bleibt zu prüfen, ob die Quersumme es ist. Weil 999, 99 und 9 auch Vielfache von 3 sind, trägt dieselbe Begründung die Regel für 3.
Ist die Quersumme noch groß, bilde sie erneut. Bei 987.654 ergeben die Ziffern 39, und die Ziffern von 39 ergeben 12. Die 12 ist ein Vielfaches von 3, aber nicht von 9, also ist 987.654 durch 3 teilbar, durch 9 nicht. Jedes Vielfache von 9 ist auch eines von 3, umgekehrt gilt das nicht immer.
Die 11 folgt derselben Idee mit einem anderen Rest. Weil 10 = 11 − 1, lässt 10 den Rest −1, 100 den Rest 1, 1000 den Rest −1 und so im Wechsel weiter. Die Ziffern mit abwechselnden Vorzeichen zu addieren ergibt daher denselben Rest wie die ganze Zahl. Bei 2728 ist 2 − 7 + 2 − 8 = −11, und 2728 = 11 × 248. Bei 1001 musst du die Nullen mit abwechseln: 1 − 0 + 0 − 1 = 0, und das bestätigt 1001 = 11 × 91. Das Vorzeichen des Ergebnisses spielt keine Rolle, denn −11 und 11 sind beide Vielfache von 11.
Rechenbeispiel: 2340 und die zehn Regeln
Wende die Regeln für 2 bis 11 auf die Zahl 2340 an und notiere, durch welche Teiler sie teilbar ist.
- Schau auf das Ende. Die Zahl endet auf 0, also ist sie durch 2, 5 und 10 teilbar. Die letzten beiden Ziffern bilden 40 = 4 × 10, also ist sie auch durch 4 teilbar.
- Bilde die Quersumme. 2 + 3 + 4 + 0 = 9, ein Vielfaches von 3 und von 9. Da die Zahl außerdem gerade ist, gilt die Regel für 6.
- Prüfe die 8. Die letzten drei Ziffern bilden 340, und 340 = 8 × 42 + 4. Es bleibt der Rest 4, die Zahl ist also nicht durch 8 teilbar, wohl aber durch 4.
- Prüfe die 7. Streiche die 0 am Ende, es bleibt 234. Streiche die 4 und ziehe ihr Doppeltes von 23 ab, das ergibt 15, kein Vielfaches von 7.
- Prüfe die 11. Wechsle die Vorzeichen der Ziffern ab: 2 − 3 + 4 − 0 = 3. Das ist weder 0 noch ein Vielfaches von 11.
Ergebnis. 2340 ist durch 2, 3, 4, 5, 6, 9 und 10 teilbar, aber nicht durch 7, 8 und 11.
Probe. 2340 = 9 × 260, und 2340 ÷ 8 ergibt 292,5, keine ganze Zahl. Bei 7 bleibt der Rest 2, denn 7 × 334 = 2338.
Zusammengesetzte Teiler: 6, 12 und 15
Bei einem zusammengesetzten Teiler prüfst du zwei Regeln für teilerfremde Zahlen, also ohne gemeinsamen Faktor, deren Produkt der Teiler ist. 6 ist 2 × 3, 12 ist 3 × 4 und 15 ist 3 × 5. Bei 2340, das auf 0 endet und die Quersumme 9 hat, gelten die Regeln für 3 und 5, und deshalb ist 2340 = 15 × 156.
Die Bedingung der Teilerfremdheit verhindert, dass derselbe Faktor doppelt gezählt wird. Die 12 prüfst du nicht als 2 × 6, weil 2 und 6 den Faktor 2 gemeinsam haben. Mit 4 und 3 klappt es und ergibt 2340 = 12 × 195.
Zwei weitere Verwechslungen führen zu falschen Ergebnissen. Bei der Regel für 4 genügt die letzte Ziffer nicht: 1114 endet auf 4 und lässt trotzdem den Rest 2, denn 1114 = 4 × 278 + 2. Und die Quersumme sagt nur etwas über 3 und 9: 16 ist ein Vielfaches von 4 und von 8, aber 1 + 6 = 7.
Die Regeln beim Kürzen von Brüchen
Beim Kürzen helfen sie, einen gemeinsamen Teiler zu finden, ohne blind zu probieren. Bei 45/60 enden beide Zahlen auf 0 oder 5, also teilst du durch 5 und erhältst 9/12. Die Quersummen von 9 und 12 sind 9 und 3, beide Vielfache von 3, also teilst du durch 3 und erhältst 3/4. Du hast zweimal geteilt, durch 5 und durch 3, also auf einen Schlag durch 15. Diese 15 ist der ggT von 45 und 60, und der entstandene Bruch ist gleichwertig mit dem ursprünglichen, wie der Ratgeber zu gleichwertigen Brüchen erklärt.
Bei großen Zahlen reichen die Regeln nur bis 11. Bei 1001/1430 teilt die 11er-Regel beide Zahlen und lässt 91/130 übrig. Den gemeinsamen Faktor 13 erkennt keine Regel von 2 bis 11, deshalb sieht man ihn nicht auf den ersten Blick. Der größte gemeinsame Teiler von 1001 und 1430 ist 143, und damit kommst du in einem Schritt auf 7/10. Wenn du lieber wissen willst, wie sich das ohne Regeln berechnen lässt, erklärt es der Ratgeber zum euklidischen Algorithmus.
Um jeden Bruch sofort zu kürzen, nutze den Rechner zum Brüche kürzen. Die Primfaktorzerlegung zerlegt eine Zahl, und der Rechner für die Teiler einer Zahl listet alle positiven Teiler auf, sodass du damit das Ergebnis einer Regel kontrollieren kannst. Bei 2340 enthält die Liste 2, 3, 4, 5, 6, 9 und 10, aber nicht 7, 8 und 11. Wann du ggT und wann kgV brauchst, zeigt der Ratgeber ggT und kgV im Vergleich.
Üben
- Ist 1248 durch 8 teilbar?
- Ist 1248 durch 9 teilbar?
- Ist 4059 durch 11 teilbar?
- Ist 5316 durch 12 teilbar?
- Kürze 84/126, indem du durch die Teiler teilst, die die Regeln zeigen.
Lösungen anzeigen
- Ja. Die letzten drei Ziffern bilden 248 = 8 × 31, und 1248 = 8 × 156.
- Nein. 1 + 2 + 4 + 8 = 15, und das ist kein Vielfaches von 9.
- Ja. 4 − 0 + 5 − 9 = 0, und 4059 = 11 × 369.
- Ja. 5 + 3 + 1 + 6 = 15 erfüllt die Regel für 3, und 16 = 4 × 4 erfüllt die für 4, und 5316 = 12 × 443.
- Beide sind gerade, es bleibt 42/63. Die Quersummen von 42 und 63 sind 6 und 9, also teilst du durch 3 und erhältst 14/21. Beide sind Vielfache von 7, und es bleibt 2/3.