Quando la divisione non lascia resto, un numero è divisibile per l’altro. I criteri dal 2 all’11 lo stabiliscono dalle ultime cifre o dalla somma delle cifre, senza eseguire la divisione. Prendi 2340: supera quasi tutti i criteri e ne fallisce solo tre, quelli del 7, dell’8 e dell’11. Per gli altri sette divisori, da 2 a 10, la risposta è sì.
| Divisore | Si verifica se | Esempio |
|---|---|---|
| 2 | L'ultima cifra è pari | 538 finisce con 8, e 538 = 2 × 269 |
| 3 | La somma delle cifre è un multiplo di 3 | 4 + 7 + 1 = 12, e 471 = 3 × 157 |
| 4 | Le ultime due cifre formano un multiplo di 4 | 24 = 4 × 6, e 124 = 4 × 31 |
| 5 | Finisce con 0 o con 5 | 835 = 5 × 167 |
| 6 | Rispetta il criterio del 2 e quello del 3 | 72 è pari e 7 + 2 = 9, e 72 = 6 × 12 |
| 7 | Togliendo l'ultima cifra e sottraendo il suo doppio dal resto, si ottiene un multiplo di 7 | 34 − 2 × 3 = 28, e 343 = 7 × 49 |
| 8 | Le ultime tre cifre formano un multiplo di 8 | 728 = 8 × 91, e 2728 = 8 × 341 |
| 9 | La somma delle cifre è un multiplo di 9 | 3 + 4 + 5 + 6 = 18, e 3456 = 9 × 384 |
| 10 | Finisce con 0 | 580 = 10 × 58 |
| 11 | Le cifre con segni alterni sommano 0 o un multiplo di 11 | 5 − 3 + 1 − 3 = 0, e 3135 = 11 × 285 |
I criteri del 2, del 5 e del 10 guardano solo l’ultima cifra, quello del 4 ne guarda due e quello dell’8 ne guarda tre. Il motivo è che 10 è multiplo di 2 e di 5, 100 lo è di 4 e 1000 lo è di 8, quindi tutto ciò che sta davanti a quelle cifre è già divisibile. Quelli del 3, del 9 e dell’11 richiedono tutte le cifre, e più avanti si vede perché.
Perché funzionano i criteri del 3, del 9 e dell’11
Le potenze di 10 danno resto 1 nella divisione per 9, perché 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 e 1000 = 999 + 1. Per questo un numero e la somma delle sue cifre hanno lo stesso resto nella divisione per 9. In 2340 = 2 × 999 + 3 × 99 + 4 × 9 + 9, i primi tre addendi sono multipli di 9 e resta da vedere solo se lo è la somma delle cifre. Poiché anche 999, 99 e 9 sono multipli di 3, lo stesso ragionamento vale per il criterio del 3.
Se la somma delle cifre è ancora grande, somma di nuovo le sue cifre. In 987.654 le cifre sommano 39 e quelle di 39 sommano 12. Il 12 è multiplo di 3 e non di 9, quindi 987.654 è divisibile per 3 e non per 9. Ogni multiplo di 9 lo è anche di 3, ma non vale il contrario.
L’11 segue la stessa idea con un altro resto. Poiché 10 = 11 − 1, il numero 10 dà resto −1, 100 dà resto 1, 1000 dà resto −1, e così via alternando. Sommare le cifre con segni alterni dà quindi lo stesso resto del numero intero. In 2728, 2 − 7 + 2 − 8 = −11, e 2728 = 11 × 248. In 1001 bisogna alternare anche con gli zeri, 1 − 0 + 0 − 1 = 0, e questo conferma che 1001 = 11 × 91. Il segno del risultato non conta, perché −11 e 11 sono multipli di 11.
Esempio svolto: 2340 e i dieci criteri
Applica i criteri dal 2 all'11 al numero 2340 e annota per quali divisori è divisibile.
- Guarda la fine. Finisce con 0, quindi è divisibile per 2, 5 e 10. Le ultime due cifre formano 40, che è 4 × 10, quindi lo è anche per 4.
- Somma le cifre. 2 + 3 + 4 + 0 = 9, che è multiplo di 3 e di 9. Poiché inoltre è pari, rispetta il criterio del 6.
- Controlla l’8. Le ultime tre cifre formano 340, e 340 = 8 × 42 + 4. Il resto è 4, quindi non è divisibile per 8, anche se lo è per 4.
- Controlla il 7. Togli lo 0 finale e resta 234. Togli il 4 e sottrai il suo doppio da 23: resta 15, che non è multiplo di 7.
- Controlla l’11. Alterna i segni delle cifre e ottieni 2 − 3 + 4 − 0 = 3. Non è 0 né un multiplo di 11.
Risultato. 2340 è divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10, e non lo è per 7, 8 e 11.
Prova. 2340 = 9 × 260, e 2340 ÷ 8 dà 292,5, che non è intero. Il 7 lascia resto 2, perché 7 × 334 = 2338.
Divisori composti: 6, 12 e 15
Per un divisore composto, controlla due criteri di divisori coprimi, cioè senza fattori comuni, il cui prodotto sia il divisore. Il 6 è 2 × 3, il 12 è 3 × 4 e il 15 è 3 × 5. Con 2340, che finisce con 0 e ha cifre che sommano 9, valgono il 3 e il 5, e per questo 2340 = 15 × 156.
La condizione di coprimi evita di contare due volte lo stesso fattore. Il 12 non si controlla come 2 × 6, perché 2 e 6 hanno in comune il fattore 2. Si può vedere anche con il 4 e il 3, che danno 2340 = 12 × 195.
Altre due confusioni portano a un risultato falso. Nel criterio del 4 non basta l’ultima cifra, perché 1114 finisce con 4 e tuttavia lascia resto 2, dato che 1114 = 4 × 278 + 2. E la somma delle cifre dice qualcosa solo sul 3 e sul 9, perché 16 è multiplo di 4 e di 8 mentre 1 + 6 = 7.
I criteri quando si semplifica una frazione
Quando si semplifica, servono a trovare un divisore comune senza tentare alla cieca. In 45/60 i due numeri finiscono con 0 o con 5, quindi si dividono per 5 e resta 9/12. Le cifre di 9 e di 12 sommano 9 e 3, multipli di 3, quindi si dividono per 3 e resta 3/4. Si è diviso due volte, per 5 e per 3, ovvero per 15 in un solo passaggio. Quel 15 è il MCD di 45 e 60, e la frazione ottenuta è equivalente a quella iniziale, come spiega la guida alle frazioni equivalenti.
Con termini grandi, i criteri arrivano soltanto fino all’11. In 1001/1430, il criterio dell’11 divide i due termini e lascia 91/130. Il fattore 13 che resta in comune non viene rilevato da nessun criterio dal 2 all’11, e per questo non si vede a colpo d’occhio. Il massimo comune divisore di 1001 e 1430 è 143, e con lui si arriva in un solo passaggio a 7/10. Se preferisci capire come si calcola senza criteri, lo spiega la guida all’algoritmo di Euclide.
Per ridurre subito qualsiasi frazione, usa la calcolatrice per semplificare le frazioni. Quella della scomposizione in fattori primi scompone un numero, e quella dei divisori di un numero elenca tutti i suoi divisori positivi, quindi serve a controllare il risultato di un criterio. Per 2340 l’elenco comprende 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10, e non comprende 7, 8 e 11. Per scegliere tra MCD e mcm in base al compito, leggi la differenza tra MCD e mcm. Per i criteri di divisibilità per 3, 9 e 11 vedi anche la voce «divisibilità» di Treccani (consultata il 16 ottobre 2026).
Esercitati
- 1248 è divisibile per 8?
- 1248 è divisibile per 9?
- 4059 è divisibile per 11?
- 5316 è divisibile per 12?
- Semplifica 84/126 dividendo per i divisori che i criteri riconoscono.
Vedi le risposte
- Sì. Le ultime tre cifre formano 248 = 8 × 31, e 1248 = 8 × 156.
- No. 1 + 2 + 4 + 8 = 15, che non è multiplo di 9.
- Sì. 4 − 0 + 5 − 9 = 0, e 4059 = 11 × 369.
- Sì. 5 + 3 + 1 + 6 = 15 rispetta il 3 e 16 = 4 × 4 rispetta il 4, e 5316 = 12 × 443.
- Sono entrambi pari e diventano 42/63. Le cifre di 42 e di 63 sommano 6 e 9, quindi si dividono per 3 e restano 14/21. Sono entrambi multipli di 7 e resta 2/3.