Scrivi un intero tra 1 e 1.000.000.000.000 (10¹²) e premi «Calcola». Per l’elenco completo dei divisori usa la calcolatrice dei divisori.
Esempio svolto: 360 in fattori primi
Scrivi 360 come prodotto di numeri primi.
- Dividi per 2 finché è possibile. 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90 e 90 ÷ 2 = 45. Il 45 è dispari, quindi il 2 si esaurisce con esponente 3.
- Passa al 3. 45 ÷ 3 = 15 e 15 ÷ 3 = 5. Il 3 compare due volte.
- Resta un primo. Il 5 è divisibile solo per 1 e per sé stesso.
- Raggruppa i fattori ripetuti. 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5.
Risultato: 360 = 2³ × 3² × 5. Nel risultato compare come 2^3 × 3^2 × 5.
Verifica: 8 × 9 × 5 = 72 × 5 = 360. La verifica del risultato ripete questa stessa moltiplicazione.
Il metodo è sempre lo stesso: si prova il 2 e poi i numeri dispari 3, 5, 7, 9…, e ci si ferma quando il quadrato del candidato supera ciò che resta da dividere. Quello che resta a quel punto è un primo.
Il risultato non dipende dal percorso
Puoi anche partire da 360 = 36 × 10, e poi 36 = 4 × 9, 4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3 e 10 = 2 × 5. Le foglie dell’albero sono ancora tre 2, due 3 e un 5. È il teorema fondamentale dell’aritmetica: l’albero cambia forma, ma il prodotto di potenze di primi è sempre lo stesso. Per questo si possono confrontare le scomposizioni di due numeri per ricavarne MCD e mcm.
Primo, composto o nessuno dei due
Un numero è composto se ha un divisore diverso da 1 e da sé stesso. Per deciderlo non serve provare tutti gli interi: se n = a × b, uno dei due fattori è minore o uguale alla radice quadrata di n. Per 97 la radice sta tra 9 e 10, perché 9² = 81 e 10² = 100. I primi 2, 3, 5 e 7 lasciano resti 1, 1, 2 e 6, quindi 97 è primo. I criteri di divisibilità escludono a colpo d’occhio il 2, il 3 e il 5.
| Numero | Scomposizione | Cosa mostra |
|---|---|---|
| 97 | 97 | Primo: nessun primo fino a 7 lo divide |
| 91 | 7 × 13 | Composto che sembra primo |
| 1001 | 7 × 11 × 13 | Tre primi consecutivi |
| 1024 | 2^10 | Potenza di un solo primo |
| 999.999 | 3^3 × 7 × 11 × 13 × 37 | Sei cifre, cinque primi distinti |
| 1 | nessun fattore | Né primo né composto |
Se la lista ha un unico fattore senza esponente, il numero è primo; se ha un unico primo con esponente, come 1024, è una potenza di quel primo.
Cosa puoi ricavare dalla scomposizione
Con 18 = 2 × 3² e 24 = 2³ × 3, il MCD prende ogni primo comune con l’esponente minore, 2 × 3 = 6, e il mcm prende tutti i primi con l’esponente maggiore, 2³ × 3² = 72. Questa pagina non calcola questi due valori; per ottenerli subito usa la calcolatrice del MCD o quella del mcm. Con il MCD uguale a 6 si semplifica 18/24 in 3/4 con lo strumento per semplificare le frazioni.
Gli esponenti servono anche a contare i divisori: aggiungi 1 a ciascuno e moltiplica. Con gli esponenti 3, 2 e 1 di 360 si ottiene (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 divisori, e l’elenco completo è nella calcolatrice dei divisori. Se poi tutti gli esponenti sono pari, il numero è un quadrato perfetto: 144 = 2⁴ × 3² = (2² × 3)².
Come lavora con i numeri grandi
La ricerca procede per divisioni di prova. Nessun candidato supera la radice quadrata. Al limite di 10¹² sono al massimo circa 500.000 prove, perché si provano solo il 2 e i dispari. Se un calcolo richiede tempo, compare il pulsante «Annulla il calcolo». Un numero maggiore di 10¹² resta senza verdetto di primo o composto. Per esempio, 10¹² = 2^12 × 5^12 e 999.999.999.989 è primo.
Domande frequenti
Perché 1 non è considerato primo?
Un primo ha esattamente due divisori positivi, 1 e sé stesso, mentre 1 ne ha uno solo. Inoltre, se 1 fosse primo, la scomposizione di 10 non sarebbe unica: 2 × 5, 1 × 2 × 5, 1 × 1 × 2 × 5, e così all’infinito. Per questo la lista dei fattori primi di 1 resta vuota.
Posso scomporre un numero negativo, un decimale o lo zero?
No, sono ammessi solo interi positivi. Per un negativo scomponi il valore assoluto e aggiungi il segno: −50 = −(2 × 5²). Lo zero non ha una scomposizione, perché è divisibile per tutti i primi. Con un decimale, scrivilo prima come frazione (0,6 = 3/5) e scomponi numeratore e denominatore separatamente.