Saisissez un entier compris entre 1 et 1 000 000 000 000 (10¹²), puis appuyez sur « Calculer ». Pour la liste complète des diviseurs, utilisez la calculatrice des diviseurs.
Exemple résolu : 360 en facteurs premiers
Écrivez 360 comme un produit de nombres premiers.
- Divisez par 2 tant que c’est possible. 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90 et 90 ÷ 2 = 45. Le nombre 45 est impair : le 2 s’épuise avec l’exposant 3.
- Passez au 3. 45 ÷ 3 = 15 et 15 ÷ 3 = 5. Le 3 apparaît deux fois.
- Il reste un nombre premier. Le 5 n’est divisible que par 1 et par lui-même.
- Regroupez les facteurs répétés. 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5.
Résultat : 360 = 2³ × 3² × 5. Dans le résultat de l’outil, il s’affiche sous la forme 2^3 × 3^2 × 5.
Vérification : 8 × 9 × 5 = 72 × 5 = 360. La vérification du résultat refait cette même multiplication.
La méthode est toujours la même : on essaie le 2, puis les impairs 3, 5, 7, 9…, et l’on s’arrête quand le carré du candidat dépasse ce qu’il reste à diviser. Ce qui reste alors est un nombre premier.
Le résultat ne dépend pas du chemin
Vous pouvez aussi partir de 360 = 36 × 10, puis 36 = 4 × 9, 4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3 et 10 = 2 × 5. Les feuilles de l’arbre sont à nouveau trois 2, deux 3 et un 5. C’est le théorème fondamental de l’arithmétique : l’arbre change de forme, mais le produit de puissances de nombres premiers est toujours le même. On peut donc comparer les décompositions de deux nombres pour en tirer le PGCD ou le PPCM.
Premier, composé ou ni l’un ni l’autre
Un nombre est composé s’il a un diviseur autre que 1 et lui-même. Pour en décider, inutile d’essayer tous les entiers : si n = a × b, l’un des deux facteurs est inférieur ou égal à la racine carrée de n. Pour 97, la racine se situe entre 9 et 10, car 9² = 81 et 10² = 100. Les nombres premiers 2, 3, 5 et 7 laissent les restes 1, 1, 2 et 6, donc 97 est premier. Les critères de divisibilité écartent le 2, le 3 et le 5 au premier coup d’œil.
| Nombre | Décomposition | Ce que cela montre |
|---|---|---|
| 97 | 97 | Premier : aucun nombre premier jusqu’à 7 ne le divise |
| 91 | 7 × 13 | Composé qui ressemble à un nombre premier |
| 1001 | 7 × 11 × 13 | Trois nombres premiers consécutifs |
| 1024 | 2^10 | Puissance d’un seul nombre premier |
| 999 999 | 3^3 × 7 × 11 × 13 × 37 | Six chiffres, cinq nombres premiers distincts |
| 1 | aucun facteur | Ni premier ni composé |
Si la liste ne contient qu’un seul facteur sans exposant, le nombre est premier ; si elle ne contient qu’un seul nombre premier avec un exposant, comme 1024, le nombre est une puissance de ce nombre premier.
Ce que vous pouvez tirer de la décomposition
Avec 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3, le PGCD prend chaque nombre premier commun avec le plus petit exposant, soit 2 × 3 = 6, et le PPCM les prend tous avec le plus grand exposant, soit 2³ × 3² = 72. Cette page ne calcule pas ces deux valeurs ; pour les obtenir directement, utilisez la calculatrice du PGCD ou celle du PPCM. Avec le PGCD égal à 6, on simplifie 18/24 en 3/4 grâce à l’outil pour simplifier une fraction.
Les exposants servent aussi à compter les diviseurs : ajoutez 1 à chacun, puis multipliez. Avec les exposants 3, 2 et 1 de 360, on obtient (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 diviseurs, et la liste complète se trouve dans la calculatrice des diviseurs. Et si tous les exposants sont pairs, le nombre est un carré parfait : 144 = 2⁴ × 3² = (2² × 3)².
Comment l’outil traite les grands nombres
La recherche se fait par divisions d’essai. Aucun candidat ne dépasse la racine carrée. À la limite de 10¹², cela représente environ 500 000 essais au maximum, car on n’essaie que le 2 et les impairs. Si un calcul prend du temps, le bouton « Annuler le calcul » apparaît. Un nombre supérieur à 10¹² reste sans verdict « premier » ou « composé ». Par exemple, 10¹² = 2^12 × 5^12 et 999 999 999 989 est premier.
Questions fréquentes
Pourquoi 1 n’est-il pas considéré comme premier ?
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même, alors que 1 n’en a qu’un. De plus, si 1 était premier, la décomposition de 10 ne serait pas unique : 2 × 5, 1 × 2 × 5, 1 × 1 × 2 × 5, et ainsi de suite sans fin. C’est pourquoi la liste des facteurs premiers de 1 reste vide.
Puis-je décomposer un nombre négatif, un nombre décimal ou zéro ?
Non, seuls les entiers positifs sont admis. Pour un négatif, décomposez sa valeur absolue et remettez le signe : −50 = −(2 × 5²). Zéro n’a pas de décomposition, car tous les nombres premiers le divisent. Avec un nombre décimal, écrivez-le d’abord sous forme de fraction (0,6 = 3/5) et décomposez séparément le numérateur et le dénominateur.