Les diviseurs d’un nombre sont les entiers positifs qui le divisent sans laisser de reste. Ceux de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36, soit neuf en tout. La liste s’affiche dans l’ordre, avec le total en dessous ; elle sert à décider si un nombre est premier, à répartir en groupes égaux et à comparer deux nombres avant de chercher leur PGCD. Si vous voulez écrire le nombre comme un produit de nombres premiers, utilisez la décomposition en facteurs premiers ; ici, vous obtenez tous les diviseurs.
Exemple résolu : les diviseurs de 36
Vous voulez ranger 36 chaises en rangées pleines, chacune avec le même nombre de chaises. Combien de rangées différentes peut-on former ?
- Essayez de 1 à 6. Comme √36 = 6, inutile d’aller plus loin. 1, 2, 3, 4 et 6 divisent 36.
- Calculez le diviseur associé à chacun. 36 ÷ 1 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 36 ÷ 3 = 12, 36 ÷ 4 = 9 et 36 ÷ 6 = 6.
- Réunissez et retirez le doublon. 6 apparaît deux fois car 6 × 6 = 36, et on ne le compte qu’une fois.
- Rangez dans l’ordre. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.
Résultat : 9 diviseurs, c’est-à-dire 9 façons de former les rangées.
Vérification : 36 = 2² × 3², donc (2 + 1)(2 + 1) = 9, le même total.
Compter les diviseurs avec les exposants
Pour savoir combien de diviseurs a un nombre, il n’est pas nécessaire de les lister. Décomposez le nombre, ajoutez 1 à chaque exposant et multipliez les résultats. Pour 360 = 2³ × 3² × 5, on obtient (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24. Cela fonctionne parce que chaque diviseur choisit, pour chaque nombre premier, un exposant entre 0 et celui du nombre, et que les choix se multiplient. La calculatrice génère la liste avec cette méthode, vérifie que chaque valeur divise le nombre et que le total correspond au calcul. Si vous avez besoin des exposants, la calculatrice de décomposition en facteurs premiers les fournit.
Nombres premiers, carrés et nombres parfaits
| Type | Exemple | Ce que vous voyez dans la liste |
|---|---|---|
| Nombre premier | 13 | Seulement 1 et 13 |
| Carré parfait | 100 | 9 diviseurs, un nombre impair à cause de la paire 10 × 10 |
| Puissance de 2 | 64 | 7 diviseurs, tous des puissances de 2 |
| Nombre parfait | 28 | 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, la somme des autres diviseurs |
Les nombres parfaits sont rares et, après 28, vient 496. Le cas qui prête le plus à confusion est le carré, car sa paire centrale n’apporte pas deux diviseurs distincts.
Diviseurs communs et PGCD
Les diviseurs communs de deux nombres sont ceux qui figurent dans les deux listes, et le plus grand d’entre eux est le PGCD. Ceux de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60. En les comparant à ceux de 36, on trouve en commun 1, 2, 3, 4, 6 et 12, donc le PGCD de 36 et 60 est 12. Il permet de simplifier : 36/60 = 3/5, en divisant le haut et le bas par 12. Cette calculatrice ne traite qu’un seul nombre à la fois ; pour le PGCD direct de plusieurs nombres, utilisez la calculatrice de PGCD, et pour les multiples communs, celle du PPCM, car les diviseurs d’un nombre s’arrêtent alors que ses multiples ne s’arrêtent jamais. Pour réduire une fraction en une seule étape, il y a simplifier une fraction.
Avant de lister, les critères de divisibilité vous disent d’un coup d’œil si 2, 3, 5, 9 ou 10 sont des diviseurs.
Diviseurs de nombres courants
| Nombre | Diviseurs | Total |
|---|---|---|
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 72 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 | 12 |
| 120 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 | 16 |
| 180 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 | 18 |
Plus un nombre a de petits diviseurs, plus il admet de partages. 24 et 180 peuvent se partager respectivement en 8 et en 18 parts égales.
Zéro et les nombres négatifs
0 n’est pas accepté, car tout entier non nul le divise : sa liste n’aurait pas de fin. Un nombre négatif comme −36 a les mêmes diviseurs que 36, précédés du signe moins ; saisissez donc 36 et ajoutez le signe vous-même. Si vous saisissez 0 ou un nombre négatif, la calculatrice ne renvoie aucune liste et affiche un avertissement de saisie non valide.
Questions fréquentes
La liste comprend-elle 1 et le nombre lui-même ?
Oui. 1 et le nombre lui-même divisent toujours n, donc toute liste commence par 1 et finit par n. Un nombre qui n’a que ces deux diviseurs est premier : 23 a 1 et 23. 1 est l’exception, car sa liste ne contient qu’un seul élément ; il n’est donc pas considéré comme premier.
Pourquoi un carré parfait a-t-il un nombre impair de diviseurs ?
Les diviseurs s’associent de façon que chaque paire ait pour produit n. Dans un carré, une paire est la racine avec elle-même et ne se répète pas. Avec 49, les paires sont 1 × 49 et 7 × 7, et les diviseurs sont 1, 7 et 49 : trois, un nombre impair.
Comment compter les diviseurs sans les écrire tous ?
Décomposez le nombre en facteurs premiers, ajoutez 1 à chaque exposant et multipliez. Avec 2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11, chaque exposant vaut 1, ce qui donne 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 diviseurs. Avec un seul nombre premier répété, comme 3⁴, il y en aurait 4 + 1 = 5.