I divisori di un numero sono gli interi positivi che lo dividono senza lasciare resto. Quelli di 36 sono 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36, nove in tutto. L’elenco esce in ordine crescente con il totale sotto, e serve a capire se un numero è primo, a dividere in gruppi uguali e a confrontare due numeri prima di cercare il loro massimo comune divisore. Se vuoi scrivere il numero come prodotto di primi, usa la scomposizione in fattori primi; qui ottieni tutti i divisori.
Esempio svolto: i divisori di 36
Vuoi sistemare 36 sedie in file complete, tutte con lo stesso numero di sedie. Quante file sono possibili?
- Prova da 1 a 6. Poiché √36 = 6, non serve andare oltre. Dividono 36 l’1, il 2, il 3, il 4 e il 6.
- Calcola la coppia di ciascuno. 36 ÷ 1 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 36 ÷ 3 = 12, 36 ÷ 4 = 9 e 36 ÷ 6 = 6.
- Unisci ed elimina il doppione. Il 6 compare due volte perché 6 × 6 = 36, e si conta una volta sola.
- Metti in ordine. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
Risultato: 9 divisori, cioè 9 modi di formare le file.
Verifica: 36 = 2² × 3², quindi (2 + 1)(2 + 1) = 9, lo stesso totale.
Contare i divisori dagli esponenti
Per sapere quanti divisori ha un numero non serve elencarli. Scomponi il numero, aggiungi 1 a ogni esponente e moltiplica i risultati. In 360 = 2³ × 3² × 5 si ottiene (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24. Funziona perché ogni divisore sceglie, per ciascun primo, un esponente tra 0 e quello che ha il numero, e le scelte si moltiplicano. La calcolatrice genera l’elenco con questo metodo, controlla che ogni valore divida il numero e che il totale coincida con il conteggio. Se ti servono gli esponenti, la calcolatrice della scomposizione in fattori primi li fornisce.
Primi, quadrati e numeri perfetti
| Tipo | Esempio | Che cosa vedi nell’elenco |
|---|---|---|
| Primo | 13 | Solo 1 e 13 |
| Quadrato perfetto | 100 | 9 divisori, quantità dispari per la coppia 10 × 10 |
| Potenza di 2 | 64 | 7 divisori, tutti potenze di 2 |
| Numero perfetto | 28 | 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, la somma degli altri divisori |
I numeri perfetti sono rari e dopo il 28 arriva il 496. Il caso che confonde di più è il quadrato, perché la sua coppia centrale non porta due divisori distinti.
Divisori comuni e MCD
I divisori comuni di due numeri sono quelli presenti in entrambi gli elenchi, e il più grande è il MCD. Quelli di 60 sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Confrontandoli con quelli di 36 coincidono 1, 2, 3, 4, 6 e 12, quindi il MCD di 36 e 60 è 12. Con questo si semplifica: 36/60 = 3/5, dividendo sopra e sotto per 12. Questa calcolatrice elenca un solo numero alla volta; per il MCD diretto di più numeri usa quella del massimo comune divisore, e per i multipli comuni quella del minimo comune multiplo, perché i divisori di un numero finiscono e i suoi multipli no. Per ridurre una frazione in un solo passaggio c’è semplificare le frazioni.
Prima di elencare, i criteri di divisibilità ti dicono a colpo d’occhio se 2, 3, 5, 9 o 10 sono divisori.
Divisori dei numeri più usati
| Numero | Divisori | Totale |
|---|---|---|
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 72 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 | 12 |
| 120 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 | 16 |
| 180 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 | 18 |
Più divisori piccoli ha un numero, più suddivisioni ammette. Il 24 si può dividere in 8 parti uguali e il 180 in 18, oltre che in molti altri modi.
Lo zero e i negativi
Lo 0 non viene accettato perché ogni intero diverso da zero lo divide, quindi il suo elenco non avrebbe fine. Un negativo come −36 ha gli stessi divisori di 36 con il segno meno, perciò scrivi 36 e aggiungi tu il segno. Se inserisci uno 0 o un numero negativo, la calcolatrice non restituisce nessun elenco e mostra un avviso di input non valido.
Domande frequenti
L’elenco comprende l’1 e il numero stesso?
Sì. L’1 e il numero stesso dividono sempre n, quindi ogni elenco comincia con 1 e finisce con n. Un numero con solo questi due divisori è primo: 23 ha l’1 e il 23. L’1 è l’eccezione, perché il suo elenco ha un solo elemento e per questo non è considerato primo.
Perché un quadrato perfetto ha una quantità dispari di divisori?
I divisori si accoppiano in modo che ogni coppia abbia prodotto n. In un quadrato una coppia è la radice con se stessa e non si ripete. Con 49 le coppie sono 1 × 49 e 7 × 7, e i divisori sono 1, 7 e 49: tre, una quantità dispari.
Come conto i divisori senza scriverli tutti?
Scomponi il numero in fattori primi, aggiungi 1 a ogni esponente e moltiplica. Con 2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 ogni esponente è 1, quindi si ottiene 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 divisori. Con un solo primo ripetuto, come 3⁴, sarebbero 4 + 1 = 5 divisori.