Inserisci i numeri nella calcolatrice: la prima riga del risultato riporta il MCD e sotto compaiono le divisioni dell’algoritmo di Euclide, una per riga. Un solo esempio basta per vedere i tre metodi che portano allo stesso valore.
Esempio svolto: il MCD di 18 e 48
Vuoi semplificare 18/48 e tagliare due tavole lunghe 18 cm e 48 cm in pezzi uguali, i più lunghi possibile. Quanto è lungo ogni pezzo?
- Con i divisori. Quelli di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9 e 18; quelli di 48 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48. I divisori comuni sono 1, 2, 3 e 6.
- Con i fattori primi. 18 = 2 × 3² e 48 = 2⁴ × 3. Di ogni primo comune si prende l’esponente minore: 2 × 3 = 6.
- Con Euclide. 48 = 18 × 2 + 12; 18 = 12 × 1 + 6; 12 = 6 × 2 + 0. L’ultimo divisore prima del resto 0 è 6.
- Usa il valore. Ogni pezzo è lungo 6 cm. Inoltre 18 ÷ 6 = 3 e 48 ÷ 6 = 8, quindi 18/48 = 3/8.
Risultato: MCD(18, 48) = 6.
Verifica: 6 sta 3 volte in 18 e 8 volte in 48, e 3 e 8 non hanno più divisori comuni maggiori di 1. Se il MCD fosse più grande, quei quozienti si potrebbero ancora semplificare.
I divisori vanno bene con i numeri piccoli e i fattori primi quando li hai già; con numeri grandi Euclide è la strada breve, perché usa solo divisioni. Per vedere la scomposizione di ogni numero usa la pagina della scomposizione in fattori primi.
Quando si usa il MCD e quando l’mcm
I due compaiono in problemi che si somigliano, ma rispondono a domande opposte. Il MCD divide ciò che hai in parti uguali e le più grandi possibile; l’mcm cerca il primo punto in cui più misure coincidono.
| Domanda | Calcolo | Esempio |
|---|---|---|
| Semplificare una frazione | MCD | 36/60: MCD 12, resta 3/5 |
| Tagliare pezzi uguali, i più lunghi possibile | MCD | Strisce di 42 cm e 56 cm: pezzi da 14 cm |
| Dividere senza avanzi, nel maggior numero di gruppi | MCD | 30 matite e 45 gomme: 15 gruppi |
| Sommare frazioni con denominatori diversi | mcm | 1/4 + 1/6: denominatore comune 12 |
| Sapere quando coincidono due cicli | mcm | Ogni 4 e ogni 6 giorni: dopo 12 giorni |
La tabella indica già da dove partire: se bisogna dividere si usa il MCD, se bisogna mettere insieme si usa l’mcm. Per i problemi a parole, la guida ai problemi con MCD e mcm li classifica con più casi, e la differenza tra MCD e mcm spiega la regola per scegliere.
Questa calcolatrice mostra solo il MCD. Per due numeri l’mcm si ricava da esso: mcm = prodotto ÷ MCD. Con 18 e 48 è 864 ÷ 6 = 144. Se preferisci calcolarlo direttamente, scrivi gli stessi numeri nella calcolatrice del minimo comune multiplo.
Che cosa vedrai nel risultato
Il risultato mostra una riga per ogni divisione. Se scrivi 18 e 48 in quest’ordine, la prima riga è 18 = 48 × 0 + 18: poiché il primo numero è minore, quella divisione si limita a scambiare la coppia e non cambia il MCD. Se scrivi 48 e 18, quella riga non compare. In entrambi i casi il risultato è lo stesso, perché il MCD non dipende dall’ordine.
Quando i numeri sono il numeratore e il denominatore di una frazione, dividili entrambi per il MCD e otterrai la frazione irriducibile. Se vuoi il risultato subito, la calcolatrice per semplificare le frazioni lo fa senza passaggi intermedi. Dividere per il MCD semplifica; moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero dà una frazione equivalente, per la proprietà invariantiva, e nelle frazioni equivalenti le due operazioni si vedono insieme.
Domande frequenti
Come si calcola il MCD di tre numeri?
Calcola il MCD dei primi due numeri e poi quello tra il risultato e il terzo. Con 20, 28 e 44: MCD(20, 28) = 4 e MCD(4, 44) = 4. La calcolatrice fa queste coppie al posto tuo, fino a 20 interi, e mostra le divisioni numerate una dopo l’altra.
Che cosa succede se uno dei numeri è 0?
Lo 0 è divisibile per qualsiasi intero, quindi MCD(0, 9) = 9: lo zero non cambia il risultato. Se tutti i numeri sono 0 non esiste un divisore comune massimo: la calcolatrice restituisce 0 per convenzione e lo scrive nella risposta.
Il MCD può essere negativo?
No. La calcolatrice usa i valori assoluti, perché il segno non cambia quali numeri dividono esattamente: MCD(−35, 14) = 7. Scrivi il segno meno attaccato al numero, come -35, e ogni intero su una riga a parte.
Quante divisioni servono con numeri molto grandi?
Pochissime. Per il teorema di Lamé, l’algoritmo di Euclide fa al massimo cinque volte il numero di cifre del minore dei due numeri. Per questo non serve scomporre in fattori, nemmeno con cento cifre. La guida all’algoritmo di Euclide spiega il perché.