Se devi dividere o tagliare in parti uguali, le più grandi possibile, il problema è di MCD. Se qualcosa si ripete e vuoi sapere quando torna a coincidere, è di mcm. Per esempio, un pavimento di 360 × 270 cm si copre con piastrelle quadrate da 90 cm, e due autobus che partono ogni 12 e ogni 18 minuti si ritrovano insieme dopo 36 minuti.
| Domanda del problema | Operazione | Esempio |
|---|---|---|
| Qual è la misura più grande che sta un numero esatto di volte in tutti i dati? | MCD | Piastrella per 360 × 270 cm, lato di 90 cm |
| Quando tornano a coincidere più cicli? | mcm | Autobus ogni 12 e 18 minuti, dopo 36 |
| Qual è il più piccolo denominatore comune? | mcm | 5/12 + 7/18 usa il denominatore 36 |
| Per quale numero posso dividere per semplificare la frazione? | MCD | 18/24 si divide per 6 e diventa 3/4 |
Le parole del testo aiutano, ma spesso ingannano, quindi guarda la logica. Il MCD divide i dati e per questo non supera mai il più piccolo. Il mcm è un multiplo dei dati e per questo non è mai minore del più grande. Se il tuo risultato viola una delle due regole, hai usato l’operazione sbagliata.
Due problemi svolti
Il primo è di MCD e il secondo di mcm. In entrambi segui lo stesso percorso: scegliere, calcolare, rispondere con l’unità di misura e verificare.
Esempio svolto: piastrelle per un pavimento di 360 × 270 cm
Vuoi coprire un pavimento rettangolare di 360 cm per 270 cm con piastrelle quadrate uguali, le più grandi possibile e senza tagliarne nessuna. Quanto misura il lato e quante piastrelle servono?
- Scegli. Il lato deve dividere sia 360 sia 270 senza resto ed essere il maggiore possibile: serve il MCD.
- Applica l’algoritmo di Euclide. 360 = 1 × 270 + 90 e 270 = 3 × 90 + 0, quindi il MCD è 90.
- Conta le piastrelle. In lunghezza ne stanno 360 : 90 = 4 e in larghezza 270 : 90 = 3, cioè 4 × 3 = 12.
Risultato: piastrelle di 90 cm di lato, 12 in tutto.
Verifica: 12 piastrelle da 90 × 90 = 8100 cm² coprono 97.200 cm², e anche 360 × 270 dà 97.200. Con 4 e 3 piastrelle per lato non resta nessun divisore comune, quindi non esiste una piastrella più grande.
Esempio svolto: due autobus che si ritrovano
Due linee partono dalla stessa fermata, una ogni 12 minuti e l'altra ogni 18. Sono appena partite insieme. Quando si ritrovano di nuovo?
- Scegli. Cerchi il primo istante che è multiplo di 12 e di 18. È il mcm.
- Scomponi. 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3². Prendi ogni fattore primo con l’esponente maggiore.
- Moltiplica. 2² × 3² = 36.
Risultato: dopo 36 minuti.
Verifica: 36 : 12 = 3 e 36 : 18 = 2, entrambe le divisioni sono esatte. Nessun multiplo di 18 minore di 36 va bene, perché 18 : 12 non è intero. Il prodotto 12 × 18 = 216 darebbe un istante di coincidenza, ma non il primo.
Se ti serve ripassare come si ottiene ciascun valore, la guida sulla differenza tra MCD e mcm li confronta con calma e quella sull’algoritmo di Euclide spiega perché funziona il passaggio 2 del primo esempio.
Con le frazioni, lo stesso criterio
Quando si lavora con le frazioni, tornano entrambe le idee. Per sommare 5/12 + 7/18 serve il più piccolo denominatore comune, che è mcm(12, 18) = 36. Allora 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36 e la somma è 29/36, che non si semplifica perché 29 è primo.
Per ridurre una frazione si dividono numeratore e denominatore per il MCD. Lo strumento del minimo comune denominatore prepara le frazioni per la somma e quello per semplificare le frazioni applica il MCD. Se il problema unisce ripartizione e frazioni, guarda anche i problemi con le frazioni.
Cinque problemi da fare
Sono mescolati apposta, senza indicare l’operazione. Decidi prima se la misura divide i dati o ne è un multiplo, calcola e scrivi la risposta con la sua unità.
Esercitati
- Una corda di 45 m e una di 75 m si tagliano in pezzi uguali, i più lunghi possibile. Quanto misura ogni pezzo e quanti ne escono?
- Un faro emette un segnale ogni 8 secondi e un altro ogni 12. Hanno appena coinciso. Quando coincidono di nuovo?
- Ci sono 28 ragazzi e 42 ragazze. Si formano squadre uguali, ciascuna con ragazzi e ragazze, senza che nessuno resti fuori. Qual è il numero massimo di squadre e che cosa ha ciascuna?
- Tre incarichi si ripetono ogni 4, 6 e 9 giorni. Oggi coincidono tutti e tre. Tra quanti giorni coincidono di nuovo?
- Un orologio suona ogni 7 minuti e un altro ogni 9. Quando suonano insieme di nuovo?
Vedi le risposte
- È di MCD. MCD(45, 75) = 15, quindi i pezzi misurano 15 m e ne escono 3 + 5 = 8.
- È di mcm. mcm(8, 12) = 24, quindi coincidono dopo 24 secondi.
- È di MCD. MCD(28, 42) = 14, quindi le squadre sono 14, ciascuna con 2 ragazzi e 3 ragazze.
- È di mcm. mcm(4, 6, 9) = 36, quindi coincidono tra 36 giorni.
- È di mcm. 7 e 9 non hanno fattori comuni, quindi mcm(7, 9) = 63 e suonano insieme dopo 63 minuti.
Come verificare la risposta
Dividi ogni dato per il MCD che hai trovato. Le divisioni devono essere esatte e i quozienti non devono avere nessun divisore comune. Per un mcm, dividilo per ogni dato e controlla che il risultato sia intero. Poi verifica che la risposta risponda a ciò che era chiesto, perché a volte il MCD è il numero di lotti e altre volte il contenuto di ogni lotto.
I calcolatori del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo accettano più numeri e servono per controllare i tuoi conti. La scomposizione in fattori primi dà i fattori di ogni dato, e i criteri di divisibilità aiutano a trovarli a mente.