Si tienes que repartir o cortar en partes iguales lo más grandes posible, el problema es de MCD. Si algo se repite y quieres saber cuándo coincide, es de MCM. Por ejemplo, un suelo de 360 × 270 cm se cubre con baldosas cuadradas de 90 cm, y dos autobuses que salen cada 12 y cada 18 minutos vuelven a coincidir a los 36 minutos.
| Pregunta del problema | Operación | Ejemplo |
|---|---|---|
| ¿Cuál es el tamaño mayor que cabe un número exacto de veces en todos los datos? | MCD | Baldosa para 360 × 270 cm, lado de 90 cm |
| ¿Cuándo vuelven a coincidir varios ciclos? | MCM | Autobuses cada 12 y 18 minutos, a los 36 |
| ¿Qué denominador común es el menor? | MCM | 5/12 + 7/18 usa el denominador 36 |
| ¿Entre qué número puedo simplificar? | MCD | 18/24 se divide entre 6 y queda 3/4 |
Las palabras del enunciado ayudan, pero fallan a menudo, así que fíjate en la lógica. El MCD divide a los datos y por eso nunca supera al menor. El MCM es múltiplo de los datos y por eso nunca es menor que el mayor. Si tu resultado rompe una de las dos reglas, usaste la operación contraria.
Dos problemas resueltos
El primero es de MCD y el segundo de MCM. En los dos sigues el mismo camino de decidir, calcular, responder con unidades y comprobar.
Ejemplo resuelto: baldosas para un suelo de 360 × 270 cm
Quieres cubrir un suelo rectangular de 360 cm por 270 cm con baldosas cuadradas iguales, lo más grandes posible y sin cortar ninguna. ¿Cuánto mide el lado y cuántas baldosas necesitas?
- Decide. El lado debe caber un número exacto de veces en 360 y en 270, y debe ser el mayor posible. Eso es el MCD de 360 y 270.
- Aplica Euclides. 360 = 1 × 270 + 90 y 270 = 3 × 90 + 0, así que el MCD es 90.
- Cuenta las baldosas. A lo largo caben 360 ÷ 90 = 4 y a lo ancho 270 ÷ 90 = 3, es decir, 4 × 3 = 12.
Resultado: baldosas de 90 cm de lado, 12 en total.
Comprobación: 12 baldosas de 90 × 90 = 8100 cm² cubren 97 200 cm², y 360 × 270 también da 97 200. Con 4 y 3 baldosas por lado no queda ningún divisor común, así que no hay una baldosa mayor.
Ejemplo resuelto: dos autobuses que coinciden
Dos líneas salen de la misma parada, una cada 12 minutos y otra cada 18. Acaban de salir juntas. ¿Cuándo vuelven a coincidir?
- Decide. Buscas el primer momento que es múltiplo de 12 y de 18. Eso es el MCM.
- Factoriza. 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3². Toma cada primo con su mayor exponente.
- Multiplica. 2² × 3² = 36.
Resultado: a los 36 minutos.
Comprobación: 36 ÷ 12 = 3 y 36 ÷ 18 = 2, ambas divisiones son exactas. Ningún múltiplo de 18 menor que 36 sirve, porque 18 ÷ 12 no es entero. Multiplicar 12 × 18 = 216 daría un momento de coincidencia, pero no el primero.
Si necesitas repasar cómo se obtiene cada valor, la guía sobre la diferencia entre MCD y MCM los compara con calma y la del algoritmo de Euclides explica por qué funciona el paso 2 del primer ejemplo.
Con fracciones, el mismo criterio
Al operar con fracciones aparecen las dos ideas. Para sumar 5/12 + 7/18 necesitas el menor denominador común, que es MCM(12, 18) = 36. Entonces 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36 y la suma es 29/36, que ya no se simplifica porque 29 es primo.
Para reducir una fracción divides arriba y abajo entre el MCD. La herramienta de mínimo común denominador prepara las fracciones para sumar y la de simplificar fracciones aplica el MCD. Si el problema mezcla reparto y fracciones, mira también los problemas de fracciones.
Cinco problemas para practicar
Están mezclados a propósito, sin indicar la operación. Decide primero si el tamaño cabe en los datos o si los contiene, calcula y escribe la respuesta con su unidad.
Practica
- Una cuerda de 45 m y otra de 75 m se cortan en trozos iguales, lo más largos posible. ¿Cuánto mide cada trozo y cuántos salen?
- Un faro emite una señal cada 8 segundos y otro cada 12. Acaban de coincidir. ¿Cuándo vuelven a coincidir?
- Hay 28 chicos y 42 chicas. Se forman equipos iguales, cada uno con chicos y chicas, sin que sobre nadie. ¿Cuál es el mayor número de equipos y qué lleva cada uno?
- Tres tareas se repiten cada 4, 6 y 9 días. Hoy coinciden las tres. ¿Dentro de cuántos días vuelven a coincidir?
- Un reloj avisa cada 7 minutos y otro cada 9. ¿Cuándo suenan juntos otra vez?
Ver las respuestas
- Es de MCD. MCD(45, 75) = 15, así que los trozos miden 15 m y salen 3 + 5 = 8.
- Es de MCM. MCM(8, 12) = 24, así que coinciden a los 24 segundos.
- Es de MCD. MCD(28, 42) = 14, así que hay 14 equipos, cada uno con 2 chicos y 3 chicas.
- Es de MCM. MCM(4, 6, 9) = 36, así que coinciden dentro de 36 días.
- Es de MCM. 7 y 9 no tienen factores comunes, así que MCM(7, 9) = 63 y suenan juntos a los 63 minutos.
Cómo comprobar la respuesta
Divide cada dato entre el MCD que obtuviste. Las divisiones deben ser exactas y los cocientes no deben tener ningún divisor común. Para un MCM, divídelo entre cada dato y comprueba que el resultado es entero. Después revisa que la respuesta contesta lo que se preguntaba, porque a veces el MCD es el número de lotes y otras el contenido de cada lote.
Las calculadoras de máximo común divisor y de mínimo común múltiplo admiten varios números y sirven para verificar tus cuentas. La descomposición en factores primos da los factores de cada dato, y los criterios de divisibilidad ayudan a encontrarlos de cabeza.