Kalau kamu harus membagi atau memotong menjadi bagian-bagian sama besar yang sebesar mungkin, soalnya memakai FPB. Kalau sesuatu terjadi berulang dan kamu ingin tahu kapan semuanya bertemu lagi, soalnya memakai KPK. Misalnya, lantai 360 × 270 cm bisa ditutup ubin persegi bersisi 90 cm, dan dua bus yang berangkat tiap 12 dan tiap 18 menit bertemu lagi setelah 36 menit.
| Pertanyaan dalam soal | Operasi | Contoh |
|---|---|---|
| Berapa ukuran terbesar yang muat tepat beberapa kali pada semua data? | FPB | Ubin untuk lantai 360 × 270 cm, sisi 90 cm |
| Kapan beberapa siklus bertemu lagi? | KPK | Bus tiap 12 dan 18 menit, setelah 36 menit |
| Berapa penyebut persekutuan terkecil? | KPK | 5/12 + 7/18 memakai penyebut 36 |
| Dibagi berapa agar pecahan bisa disederhanakan? | FPB | 18/24 dibagi 6 menjadi 3/4 |
Kata-kata dalam soal memang membantu, tetapi sering menyesatkan, jadi perhatikan logikanya. FPB membagi semua data, sehingga tidak pernah lebih besar daripada data terkecil. KPK adalah kelipatan semua data, sehingga tidak pernah lebih kecil daripada data terbesar. Kalau hasilmu melanggar salah satu aturan ini, berarti kamu memakai operasi yang terbalik.
Dua soal yang dibahas
Soal pertama memakai FPB dan soal kedua memakai KPK. Keduanya mengikuti jalan yang sama: tentukan operasinya, hitung, jawab lengkap dengan satuan, lalu periksa.
Contoh soal: ubin untuk lantai 360 × 270 cm
Kamu ingin menutup lantai persegi panjang berukuran 360 cm kali 270 cm dengan ubin persegi yang sama, sebesar mungkin, tanpa memotong satu pun. Berapa panjang sisi ubin dan berapa ubin yang dibutuhkan?
- Tentukan operasinya. Sisi ubin harus muat tepat beberapa kali pada 360 dan pada 270, dan harus sebesar mungkin. Itu FPB dari 360 dan 270.
- Pakai algoritma Euclid. 360 = 1 × 270 + 90 dan 270 = 3 × 90 + 0, jadi FPB-nya 90.
- Hitung ubinnya. Ke arah panjang muat 360 ÷ 90 = 4 ubin dan ke arah lebar 270 ÷ 90 = 3 ubin, sehingga 4 × 3 = 12 ubin.
Hasil: ubin bersisi 90 cm, seluruhnya 12 ubin.
Pengecekan: 12 ubin berukuran 90 × 90 = 8100 cm² menutup 97.200 cm², dan 360 × 270 juga 97.200. Dengan 4 dan 3 ubin pada tiap sisi, tidak tersisa faktor persekutuan, jadi tidak ada ubin yang lebih besar.
Contoh soal: dua bus yang bertemu lagi
Dua rute bus berangkat dari halte yang sama, satu tiap 12 menit dan satu lagi tiap 18 menit. Keduanya baru saja berangkat bersamaan. Kapan mereka berangkat bersama lagi?
- Tentukan operasinya. Kamu mencari waktu pertama yang merupakan kelipatan 12 dan 18. Itu KPK.
- Faktorkan. 12 = 2² × 3 dan 18 = 2 × 3². Ambil setiap bilangan prima dengan pangkat terbesar.
- Kalikan. 2² × 3² = 36.
Hasil: setelah 36 menit.
Pengecekan: 36 ÷ 12 = 3 dan 36 ÷ 18 = 2, keduanya habis dibagi. Tidak ada kelipatan 18 yang lebih kecil dari 36 yang cocok, karena 18 ÷ 12 bukan bilangan bulat. Hasil kali 12 × 18 = 216 memang waktu mereka bertemu, tetapi bukan yang pertama.
Kalau perlu mengulang cara mendapatkan tiap nilai, panduan perbedaan FPB dan KPK membandingkan keduanya langkah demi langkah, dan panduan algoritma Euclid menjelaskan mengapa langkah 2 pada contoh pertama berhasil.
Pada pecahan, kriterianya sama
Saat menghitung pecahan, kedua gagasan ini muncul. Untuk menjumlahkan 5/12 + 7/18 kamu membutuhkan penyebut persekutuan terkecil, yaitu KPK(12, 18) = 36. Maka 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36, dan jumlahnya 29/36, yang tidak bisa disederhanakan lagi karena 29 bilangan prima.
Untuk menyederhanakan pecahan, bagi pembilang dan penyebut dengan FPB. Alat penyebut persekutuan terkecil menyiapkan pecahan sebelum dijumlahkan, dan alat menyederhanakan pecahan menerapkan FPB. Kalau soalnya memadukan pembagian dan pecahan, lihat juga soal cerita pecahan.
Lima soal latihan
Soal-soal ini sengaja dicampur dan tidak menyebut operasinya. Tentukan dulu apakah ukuran yang dicari muat di dalam data atau memuat data, lalu hitung dan tulis jawabanmu lengkap dengan satuan.
Latihan
- Tali sepanjang 45 m dan tali lain sepanjang 75 m dipotong menjadi potongan sama panjang yang sepanjang mungkin. Berapa panjang tiap potongan dan berapa potongan yang didapat?
- Sebuah mercusuar memancarkan sinyal tiap 8 detik dan mercusuar lain tiap 12 detik. Keduanya baru saja memancarkan sinyal bersamaan. Kapan keduanya memancarkan sinyal bersamaan lagi?
- Ada 28 siswa laki-laki dan 42 siswa perempuan. Mereka dibagi menjadi kelompok yang sama, setiap kelompok berisi laki-laki dan perempuan, tanpa ada yang tersisa. Berapa kelompok terbanyak dan apa isi tiap kelompok?
- Tiga tugas berulang tiap 4, 6, dan 9 hari. Hari ini ketiganya jatuh bersamaan. Berapa hari lagi ketiganya bersamaan lagi?
- Sebuah jam berbunyi tiap 7 menit dan jam lain tiap 9 menit. Kapan keduanya berbunyi bersama lagi?
Lihat jawabannya
- Memakai FPB. FPB(45, 75) = 15, jadi potongannya 15 m dan didapat 3 + 5 = 8 potong.
- Memakai KPK. KPK(8, 12) = 24, jadi mereka bersamaan setelah 24 detik.
- Memakai FPB. FPB(28, 42) = 14, jadi ada 14 kelompok, masing-masing berisi 2 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan.
- Memakai KPK. KPK(4, 6, 9) = 36, jadi ketiganya bersamaan 36 hari lagi.
- Memakai KPK. 7 dan 9 tidak punya faktor persekutuan, jadi KPK(7, 9) = 63 dan keduanya berbunyi bersama setelah 63 menit.
Cara mengecek jawaban
Bagi setiap data dengan FPB yang kamu peroleh. Hasil baginya harus bulat dan tidak boleh punya faktor persekutuan. Untuk KPK, bagi KPK-nya dengan setiap data dan pastikan hasilnya bilangan bulat. Setelah itu periksa apakah jawabanmu menjawab pertanyaan soal, karena kadang FPB adalah banyaknya kelompok dan kadang isi tiap kelompok.
Kalkulator faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil menerima beberapa bilangan dan berguna untuk memeriksa hitunganmu. Faktorisasi prima memberi faktor setiap data, dan ciri-ciri bilangan habis dibagi membantu menemukannya tanpa kalkulator.