Si vous devez partager ou découper en parts égales les plus grandes possible, le problème relève du PGCD. Si quelque chose se répète et que vous voulez savoir quand cela coïncide de nouveau, il relève du PPCM. Par exemple, un sol de 360 × 270 cm se couvre de carreaux carrés de 90 cm, et deux bus qui partent toutes les 12 et toutes les 18 minutes se retrouvent ensemble au bout de 36 minutes.
| Question du problème | Opération | Exemple |
|---|---|---|
| Quelle est la plus grande taille qui tient un nombre exact de fois dans toutes les données ? | PGCD | Carreau pour 360 × 270 cm, côté de 90 cm |
| Quand plusieurs cycles coïncident-ils de nouveau ? | PPCM | Bus toutes les 12 et 18 minutes, au bout de 36 |
| Quel est le plus petit dénominateur commun ? | PPCM | 5/12 + 7/18 utilise le dénominateur 36 |
| Par quel nombre puis-je simplifier ? | PGCD | 18/24 se divise par 6 et donne 3/4 |
Les mots de l’énoncé aident, mais ils trompent souvent : fiez-vous à la logique. Le PGCD divise les données, donc il ne dépasse jamais la plus petite. Le PPCM est un multiple des données, donc il n’est jamais inférieur à la plus grande. Si votre résultat enfreint l’une de ces deux règles, vous avez employé l’opération inverse.
Deux problèmes corrigés
Le premier relève du PGCD et le second du PPCM. Dans les deux cas, vous suivez le même chemin : choisir, calculer, répondre avec l’unité et vérifier.
Exemple corrigé : des carreaux pour un sol de 360 × 270 cm
Vous voulez couvrir un sol rectangulaire de 360 cm sur 270 cm avec des carreaux carrés identiques, les plus grands possible et sans en couper aucun. Combien mesure le côté et combien de carreaux faut-il ?
- Choisissez. Le côté doit tenir un nombre entier de fois dans 360 et dans 270, et être le plus grand possible. C’est le PGCD de 360 et 270.
- Appliquez Euclide. 360 = 1 × 270 + 90 et 270 = 3 × 90 + 0, donc le PGCD est 90.
- Comptez les carreaux. Dans la longueur, il en tient 360 ÷ 90 = 4 et dans la largeur 270 ÷ 90 = 3, soit 4 × 3 = 12.
Résultat : des carreaux de 90 cm de côté, 12 en tout.
Vérification : 12 carreaux de 90 × 90 = 8100 cm² couvrent 97 200 cm², et 360 × 270 donne aussi 97 200. Avec 4 et 3 carreaux par côté, il ne reste aucun diviseur commun, donc il n’existe pas de carreau plus grand.
Exemple corrigé : deux bus qui se retrouvent
Deux lignes partent du même arrêt, l’une toutes les 12 minutes et l’autre toutes les 18. Elles viennent de partir ensemble. Quand se retrouvent-elles de nouveau ?
- Choisissez. Vous cherchez le premier instant multiple de 12 et de 18. C’est le PPCM.
- Décomposez. 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3². Prenez chaque facteur premier avec son plus grand exposant.
- Multipliez. 2² × 3² = 36.
Résultat : au bout de 36 minutes.
Vérification : 36 ÷ 12 = 3 et 36 ÷ 18 = 2, les deux divisions tombent juste. Aucun multiple de 18 inférieur à 36 ne convient, car 18 ÷ 12 n’est pas entier. Le produit 12 × 18 = 216 donnerait un instant de coïncidence, mais pas le premier.
Si vous devez revoir comment s’obtient chaque valeur, le guide sur la différence entre PGCD et PPCM les compare en détail et celui sur l’algorithme d’Euclide explique pourquoi l’étape 2 du premier exemple fonctionne.
Avec des fractions, le même critère
Quand on calcule avec des fractions, les deux idées reviennent. Pour additionner 5/12 + 7/18, il faut le plus petit dénominateur commun, qui est PPCM(12, 18) = 36. Alors 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36 et la somme vaut 29/36, qui ne se simplifie plus car 29 est premier.
Pour réduire une fraction, vous divisez le numérateur et le dénominateur par le PGCD. L’outil du plus petit dénominateur commun prépare les fractions avant l’addition et celui pour simplifier une fraction applique le PGCD. Si le problème mêle partage et fractions, consultez aussi les problèmes de fractions.
Cinq problèmes à faire
Ils sont mélangés exprès, sans indiquer l’opération. Décidez d’abord si la taille tient dans les données ou si elle les contient, calculez et écrivez la réponse avec son unité.
Entraînez-vous
- Une corde de 45 m et une autre de 75 m sont coupées en morceaux identiques, les plus longs possible. Combien mesure chaque morceau et combien en obtient-on ?
- Un phare émet un signal toutes les 8 secondes et un autre toutes les 12. Ils viennent de coïncider. Quand coïncident-ils de nouveau ?
- Il y a 28 garçons et 42 filles. On forme des équipes identiques, chacune avec des garçons et des filles, sans que personne ne reste de côté. Quel est le plus grand nombre d’équipes et que compte chacune ?
- Trois tâches reviennent tous les 4, 6 et 9 jours. Aujourd’hui, les trois coïncident. Dans combien de jours coïncident-elles de nouveau ?
- Une horloge sonne toutes les 7 minutes et une autre toutes les 9. Quand sonnent-elles ensemble de nouveau ?
Voir les réponses
- C’est un problème de PGCD. PGCD(45, 75) = 15, donc les morceaux mesurent 15 m et on en obtient 3 + 5 = 8.
- C’est un problème de PPCM. PPCM(8, 12) = 24, donc ils coïncident au bout de 24 secondes.
- C’est un problème de PGCD. PGCD(28, 42) = 14, donc il y a 14 équipes, chacune avec 2 garçons et 3 filles.
- C’est un problème de PPCM. PPCM(4, 6, 9) = 36, donc elles coïncident dans 36 jours.
- C’est un problème de PPCM. 7 et 9 n’ont aucun facteur commun, donc PPCM(7, 9) = 63 et elles sonnent ensemble au bout de 63 minutes.
Comment vérifier la réponse
Divisez chaque donnée par le PGCD obtenu. Les divisions doivent tomber juste et les quotients ne doivent avoir aucun diviseur commun. Pour un PPCM, divisez-le par chaque donnée et contrôlez que le résultat est entier. Vérifiez ensuite que la réponse correspond à la question posée, car le PGCD est parfois le nombre de lots et parfois le contenu de chaque lot.
Les calculateurs de PGCD et de PPCM acceptent plusieurs nombres et servent à contrôler vos calculs. La décomposition en facteurs premiers donne les facteurs de chaque donnée, et les critères de divisibilité aident à les trouver de tête.