Le PGCD (plus grand commun diviseur) sert à diviser : dans 18/24, le PGCD de 18 et 24 est 6 et ramène la fraction à 3/4. Le PPCM (plus petit commun multiple) sert à rassembler : pour additionner deux fractions de dénominateurs 4 et 6, PPCM(4, 6) = 12 donne le dénominateur commun. Si vous avez besoin de la méthode pour calculer le PGCD à la main, consultez l’algorithme d’Euclide.
Avant de calculer, posez-vous cette question. Voulez-vous partager une quantité en parts plus petites ou rassembler deux quantités dans une mesure commune ? Si vous partagez, c’est le PGCD. Si vous rassemblez, c’est le PPCM. Pour vous entraîner à faire ce choix, voyez les problèmes de PGCD et PPCM.
| Critère | PGCD | PPCM |
|---|---|---|
| Ce qu’il cherche | Le plus grand diviseur commun | Le plus petit multiple commun |
| Quels nombres il regarde | Le numérateur et le dénominateur d’une fraction | Les dénominateurs de plusieurs fractions |
| À quoi il sert | Simplifier | Additionner, soustraire et comparer |
| Exemple | PGCD(18, 24) = 6, qui réduit 18/24 en une seule fois | PPCM(4, 6) = 12, et la somme passe en douzièmes |
Le tableau résume le guide. Le PGCD s’applique à l’intérieur d’une fraction et le PPCM s’applique entre des fractions.
Le PGCD travaille à l’intérieur de la fraction
Simplifier, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre, et le PGCD le fait en une seule étape. Les diviseurs communs de 18 et 24 sont 1, 2, 3 et 6. Si vous divisez par 2, vous obtenez 9/12, qui peut encore être réduite. Avec le PGCD, 6, vous arrivez directement au résultat, qui est déjà irréductible, car 3 et 4 n’ont que 1 en commun.
Avec de grands nombres, l’algorithme d’Euclide est plus rapide que de lister les diviseurs. Pour l’appliquer à une fraction, utilisez simplifier des fractions ; pour calculer seulement le nombre, la calculatrice de PGCD.
Exemple résolu : jus et eau
Vous mélangez 3/4 de litre de jus avec 5/6 de litre d’eau. Combien de litres obtenez-vous ?
- Regardez les dénominateurs. Ce sont 4 et 6, et il faut les rassembler : utilisez le PPCM.
- Calculez le PPCM. Les multiples de 4 sont 4, 8, 12… et ceux de 6 sont 6, 12… Le premier commun est 12.
- Écrivez en douzièmes. 3/4 = 9/12 et 5/6 = 10/12.
- Additionnez. 9/12 + 10/12 = 19/12, et comme 19 et 12 n’ont aucun diviseur commun, il n’y a rien à réduire avec le PGCD.
Vous obtenez 19/12 de litre, soit 1 7/12.
Vérification. En décimaux, 0,75 + 0,83… = 1,58…, et 19 ÷ 12 donne aussi 1,58….
Le PPCM travaille entre les fractions
On ne peut additionner ou soustraire deux fractions que si elles comptent des parts de même taille. Si leurs dénominateurs sont différents, il faut les réécrire avec un dénominateur multiple des deux, et le plus petit possible est le PPCM. Si elles ont déjà le même dénominateur, le PPCM est inutile : on additionne les numérateurs, comme l’explique le guide sur pourquoi on n’additionne pas les dénominateurs.
Le même dénominateur commun sert à comparer. En douzièmes, 9/12 est inférieur à 10/12, donc la première fraction est la plus petite. Le produit en croix donne la même réponse : 3 × 6 = 18 est inférieur à 5 × 4 = 20. Il est expliqué dans comparer des fractions. Pour voir le dénominateur commun déjà calculé, utilisez le plus petit dénominateur commun ou la calculatrice de PPCM.
Écrire avec un dénominateur plus grand et simplifier : deux opérations contraires
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre, c’est ce que vous faites en passant au dénominateur commun. Simplifier, c’est diviser par le même nombre, et c’est ce que fait le PGCD. Les deux conservent la valeur de la fraction et produisent des fractions égales, un sujet développé dans fractions équivalentes.
Dans une addition, les deux apparaissent souvent à la suite : d’abord le PPCM pour additionner, puis, si besoin, le PGCD pour simplifier. Avec 1/6 + 1/3, le PPCM de 6 et 3 est 6, la somme est 1/6 + 2/6 = 3/6, et le PGCD de 3 et 6 est 3, qui ramène le résultat à 1/2.
Comment les deux nombres sont liés
Pour deux entiers positifs, PGCD × PPCM = produit des deux nombres. Avec 4 et 6, on a 2 × 12 = 24 = 4 × 6, et vous pouvez donc calculer le PPCM comme le produit divisé par le PGCD. Cette relation ne vaut que pour deux nombres.
| Nombres | PGCD | PPCM | PGCD × PPCM |
|---|---|---|---|
| 4 et 6 | 2 | 12 | 24 |
| 6 et 8 | 2 | 24 | 48 |
| 4 et 9 | 1 | 36 | 36 |
| 12 et 18 | 6 | 36 | 216 |
Sur chaque ligne, la dernière valeur est égale au produit des deux nombres : 6 × 8 = 48, 4 × 9 = 36 et 12 × 18 = 216.
Comment choisir dans un problème avec des mots
Les mots-clés trompent, alors traduisez la question. Si elle demande la plus grande taille qui tient un nombre exact de fois dans deux mesures, c’est le PGCD, comme lorsqu’on découpe des pièces identiques sans rien perdre. Si elle demande quand deux événements qui se répètent à intervalles réguliers coïncident, c’est le PPCM. Pour vous exercer avec des énoncés sans étiquette, voyez les problèmes de PGCD et PPCM.
Sources
OpenStax (Prealgebra 2e, section 4.5, en anglais) définit le plus petit dénominateur commun de deux fractions comme le PPCM de leurs dénominateurs, et c’est la partie que ce guide utilise pour additionner des fractions de dénominateurs différents : OpenStax, addition et soustraction avec des dénominateurs différents, consulté le 17 octobre 2026.
En français, l’article de Wikipédia sur le plus grand commun diviseur le définit comme le plus grand entier qui divise deux entiers non nuls et donne l’identité PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = |a × b| : Wikipédia, Plus grand commun diviseur, consulté le 17 octobre 2026.