Parce que le dénominateur ne compte pas des parts : il indique la taille de chacune. Un demi et un tiers sont des parts de tailles différentes, donc on ne peut pas les réunir telles quelles. On les exprime d’abord en sixièmes, et 3/6 + 2/6 = 5/6. Si vous additionniez aussi les dénominateurs, vous obtiendriez 2/5, qui est moins que la moitié. La méthode complète, pour n’importe quel couple de fractions, se trouve dans l’outil pour additionner des fractions ; ici, on explique la raison.
Le dessin qui le démontre
Imaginez deux barres identiques, l’une partagée en 2 parts et l’autre en 3. Une part de la première est plus grande qu’une part de la seconde, et c’est là le problème : compter « une et une » mélange des morceaux de tailles différentes. La solution consiste à partager les deux barres en 6 parts, la plus petite taille commune. Chacune des deux fractions se compte alors en sixièmes.
Exemple résolu : 1/2 + 1/3
On colorie une part d’une barre partagée en 2 et une part d’une autre barre identique partagée en 3. Quelle portion d’une barre entière est coloriée ?
- Comparez la taille des parts. Une part de la barre de 2 est plus grande qu’une part de la barre de 3, donc on ne peut pas les compter ensemble.
- Choisissez une taille commune. Le PPCM de 2 et 3 est 6, qui est divisible par les deux. Pour d’autres couples, le lien explique comment le calculer.
- Convertissez chaque fraction. 1/2 = 3/6 car 1 × 3 = 3 et 2 × 3 = 6 ; 1/3 = 2/6 car on multiplie par 2 en haut et en bas.
- Additionnez les numérateurs. 3 + 2 = 5, et le dénominateur reste 6.
Résultat : 5/6 de barre.
Vérification : cinq sixièmes dépassent la moitié, soit trois sixièmes, et n’atteignent pas six sixièmes, la barre entière.
Quand le dénominateur est conservé
Si deux fractions comptent déjà des parts de même taille, le dénominateur n’est que le nom du morceau et il ne change pas quand on les réunit. Dans 2/7 + 3/7, il y a deux septièmes et trois septièmes, soit cinq septièmes du même tout. C’est comme additionner 2 pommes et 3 pommes. Les fractions de même dénominateur s’additionnent directement ; avec des dénominateurs différents, il faut d’abord les égaliser.
| Type | Ce que vous faites du dénominateur | Exemple |
|---|---|---|
| Même dénominateur | Vous le conservez | 2/7 + 3/7 = 5/7 |
| Dénominateurs différents | Vous les égalisez avant d’additionner | 3/5 + 1/10 = 6/10 + 1/10 = 7/10 |
Ce qui décide, c’est la taille des parts, pas le fait que les nombres se ressemblent. Dans la seconde ligne, 3/5 se réécrit en dixièmes car 10 est un multiple de 5, et à partir de là les parts sont comparables. Il en va de même avec les unités de longueur : 1 m + 1 cm ne font pas 2 de la même unité, car il faut convertir les deux en centimètres et additionner 100 + 1 = 101 cm.
Entraînez-vous avec trois cas
La règle se fixe avec quelques cas bien choisis. Dans chacun, décidez si le dénominateur se conserve ou s’il faut l’égaliser. Pour la comparer à d’autres fautes fréquentes, le guide des erreurs courantes avec les fractions en rassemble cinq. Si le problème est que les deux fractions ne portent pas sur le même tout, le guide sur le même tout explique pourquoi égaliser les dénominateurs ne suffit pas.
Trois exercices
- Calculez 2/9 + 4/9 et dites si le dénominateur change.
- Calculez 3/10 + 1/4 avec un dénominateur commun.
- Expliquez pourquoi 3/10 + 1/4 ne peut pas faire 4/14.
Voir les réponses
- 6/9 = 2/3. Le dénominateur est conservé, car les deux termes comptent des neuvièmes.
- Le dénominateur commun est 20, et l’on obtient 6/20 + 5/20 = 11/20.
- 3/10 vaut 0,3, et la somme doit être supérieure à ce terme. Or 4/14 vaut environ 0,29, soit moins que 3/10.
Pour la règle en mots, on peut consulter l’article Fraction (mathématiques) de Wikipédia. Pour soustraire avec la même logique, utilisez l’outil pour soustraire des fractions.