Additionner des dénominateurs, inverser la mauvaise fraction, perdre le signe d’un nombre mixte, prendre un décimal arrondi pour une égalité et croire que davantage de parts donne une fraction plus grande : ce sont cinq erreurs distinctes. Avec 3/8 + 1/10 = 19/40, le résultat dépasse chaque terme, et le 4/18 obtenu en additionnant les dénominateurs est écarté avant la fin du calcul. Chaque erreur a ici un exemple résolu et un contrôle faisable sans calculatrice. Pour l’explication avec des barres, voir pourquoi on n’additionne pas les dénominateurs.
La plupart de ces erreurs se repèrent avant la fin du calcul, en comparant le résultat à ce qui devrait se passer : deux termes positifs donnent un résultat supérieur à chacun, et diviser par un nombre inférieur à 1 agrandit le dividende. Le tableau réunit les cinq signaux et la correction de chacun.
| Erreur | Ce qu’on observe | Correction | Contrôle |
|---|---|---|---|
| Additionner les dénominateurs | On additionne numérateurs et dénominateurs | Mettre au même dénominateur avant d’additionner | La somme doit dépasser chaque terme |
| Inverser la mauvaise fraction | On inverse le dividende | Inverser seulement le diviseur | Multiplier le quotient par le diviseur |
| Perdre le signe d’un nombre mixte | Le signe ne porte que sur l’entier | Appliquer le signe à tout le nombre mixte | Le nombre mixte est à gauche de l’entier |
| Décimal arrondi écrit avec = | Un décimal tronqué est écrit avec = | Écrire ≈ ou garder la fraction | Convertir le décimal en fraction |
| Plus de parts, fraction plus grande | On ne compare que les dénominateurs | Comparer avec un dénominateur commun | Plus de parts d’un même tout sont plus petites |
Chaque ligne est développée plus bas, avec la condition dans laquelle la bonne règle s’applique, et l’exemple résolu vient d’abord.
Exemple résolu : 3/8 + 1/10
Un résultat fréquent est 4/18. Trouvez l’erreur et corrigez la somme.
- Repérez le signal. La somme de deux nombres positifs doit dépasser chaque terme. Comme 4/18 < 3/8, ce résultat ne peut pas être la somme.
- Cherchez le dénominateur commun. Le PPCM de 8 et 10 est 40.
- Convertissez chaque fraction. 3/8 = 15/40 et 1/10 = 4/40.
- Additionnez les numérateurs. 15/40 + 4/40 = 19/40.
Résultat : 3/8 + 1/10 = 19/40.
Contrôle. 19/40 − 4/40 = 15/40, qui redonne le premier terme.
Erreur 1 : additionner les dénominateurs
Un huitième et un sixième sont des parts de tailles différentes ; on ne peut pas les compter ensemble tant qu’elles ne sont pas exprimées dans la même unité. Le dénominateur donne le nom de la part, comme « mètres » ou « centimètres » dans une mesure. On le conserve quand les parts sont déjà identiques et on le change quand elles ne le sont pas. Deux septièmes plus trois septièmes font cinq septièmes, car on compte des parts de même taille.
La méthode complète est dans addition de fractions, et le guide pourquoi on n’additionne pas les dénominateurs l’explique avec des barres d’un même tout.
Erreur 2 : inverser la mauvaise fraction en divisant
Dans une division, on laisse le dividende tel quel et on inverse seulement le diviseur. Pour 7/8 ÷ 3/4, l’inverse de 3/4 est 4/3, donc 7/8 × 4/3 = 28/24 = 7/6. Si vous inversez le premier terme, vous obtenez 8/7 × 3/4 = 6/7, qui répond à une autre question. Si vous n’inversez rien, 7/8 × 3/4 = 21/32.
Le contrôle utilise l’opération inverse : 7/6 × 3/4 = 21/24 = 7/8 redonne le dividende de départ. Un autre repère rapide est la taille. Le diviseur est inférieur à 1, donc le quotient doit être plus grand que le dividende, ce que 7/6 vérifie. Ce repère ne vaut que pour un diviseur positif inférieur à 1. Avec 5/4, supérieur à 1, le quotient 7/8 × 4/5 = 7/10 est plus petit que le dividende.
| Cas | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Dividende nul | 0 ÷ 5/8 | 0 |
| Diviseur nul | 5/6 ÷ 0 | Non défini |
Zéro divisé par une fraction non nulle donne zéro, car il ne reste rien à partager. Diviser par zéro n’a pas de résultat, puisque zéro n’a pas d’inverse. Devant une division par zéro, la calculatrice de division signale l’erreur, et le guide pourquoi diviser par une fraction peut augmenter le résultat explique le repère de taille avec un modèle.
Erreur 3 : perdre le signe d’un nombre mixte
Le signe d’un nombre mixte négatif porte sur tout le nombre. Ainsi, −4 1/6 signifie −(4 + 1/6), soit −25/6 en fraction supérieure à 1. Pour convertir, calculez d’abord le numérateur sans le signe, 4 × 6 + 1 = 25, puis placez le signe à la fin. L’erreur typique consiste à soustraire la partie fractionnaire, 4 × 6 − 1 = 23, et à obtenir −23/6.
Les deux valeurs sont séparées d’un tiers sur la droite graduée. Il en va de même avec des unités : en mètres, −1 1/4 = −5/4, alors que −1 + 1/4 = −3/4. Le guide sur les fractions négatives traite les signes dans chaque opération, et lire et écrire des fractions explique la notation des nombres mixtes.
Erreur 4 : prendre un décimal arrondi pour une égalité
La fraction 2/9 a un développement décimal périodique, 0,2̅, avec des deux sans fin. Le nombre décimal 0,222 est exactement 222/1000 = 111/500, et la différence 2/9 − 111/500 = 1/4500 n’est pas nulle. Écrivez 2/9 ≈ 0,222 (erreur 1/4500) pour montrer l’arrondi. Multiplier par neuf le rend évident : 9 × 0,222 = 1,998, qui n’est pas 2, alors que 9 × 2/9 = 2.
Tous les décimaux ne sont pas des approximations. Un huitième vaut exactement 0,125, car 1/8 = 125/1000, et 1/4 = 0,25. Pour vérifier une égalité décimale, convertissez le décimal en fraction et simplifiez. Si le résultat ne coïncide pas avec la fraction d’origine, gardez la fraction dans les calculs où la précision compte. L’outil fraction en écriture décimale montre quand le développement s’arrête et quand il se répète.
Erreur 5 : croire qu’un plus grand dénominateur donne une plus grande fraction
À numérateur égal, davantage de parts dans le tout signifient des parts plus petites. C’est pourquoi 1/8 < 1/5 : un huitième est ce qu’on obtient en partageant un tout en huit, et chaque morceau est plus petit que celui d’un partage en cinq. Le numérateur compte combien de parts on prend, donc 5/8 > 1/5, car cinq huitièmes dépassent un cinquième.
Pour 1/8 et 1/5, le contrôle est 1/5 = 8/40 et 1/8 = 5/40, avec 5 < 8. Quand les deux nombres changent, regarder un seul ne suffit pas. Avec 4/7 et 5/8, passez les deux fractions à un dénominateur commun : 4/7 = 32/56 et 5/8 = 35/56, et 32 < 35, donc 4/7 < 5/8. On compare alors les numérateurs. L’outil pour comparer des fractions fait cette conversion. Pour choisir le contrôle adapté à chaque opération, voir vérifier le résultat d’un calcul de fractions.
Vérifiez et corrigez
- Vérifiez que 2/5 + 1/4 ≠ 3/9 et corrigez.
- Vérifiez que 4/9 ÷ 2/3 ≠ 8/27 et corrigez.
- La conversion −3 1/2 = −5/2 est incorrecte. Corrigez-la et vérifiez.
Voir les réponses
- 8/20 + 5/20 = 13/20. Contrôle : 13/20 − 1/4 = 13/20 − 5/20 = 8/20 = 2/5.
- On inverse le diviseur : 4/9 × 3/2 = 12/18 = 2/3. Contrôle : 2/3 × 2/3 = 4/9.
- −(3 + 1/2) = −7/2. Contrôle : −7/2 = −3,5, à gauche de −3.
Sources
L’article Fraction (mathématiques) de Wikipédia présente les opérations sur les fractions, dont la réduction au même dénominateur, et l’écriture décimale d’une fraction, qui est la base de l’erreur 4.