Comment vérifier un résultat avec des fractions

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Si vous avez additionné 2/5 + 1/4 et trouvé 13/20, retranchez l’un des termes. Comme 13/20 − 1/4 = 2/5, vous retrouvez l’autre terme et le résultat est confirmé. Cette preuve aide à repérer une erreur de calcul ; elle se complète par une estimation du signe et de la taille. Refaire le même calcul peut reproduire la même faute, il vaut donc mieux vérifier par une autre méthode. Si la preuve échoue, le guide sur les erreurs fréquentes avec les fractions explique d’où vient souvent l’erreur.

Pour une division, la preuve la plus rapide consiste à multiplier le quotient par le diviseur, car elle n’oblige pas à chercher un dénominateur commun.

Défaire une multiplication ou une division

Pour une division, multipliez le quotient par le diviseur : vous devez retrouver le dividende. Avec 3/4 ÷ 2/3 = 3/4 × 3/2 = 9/8, la preuve est 9/8 × 2/3 = 18/24 = 3/4. Le résultat coïncide, donc le quotient est correct. Cette preuve exige un diviseur non nul.

Pour une multiplication, comme 3/7 × 2/9 = 6/63 = 2/21, divisez le produit par l’un des facteurs. Ainsi, 2/21 ÷ 3/7 = 2/21 × 7/3 = 14/63 = 2/9. Si un facteur vaut zéro, vous ne pouvez pas diviser par lui ; il suffit alors de vérifier que le produit est 0.

Comparer avec les produits en croix

Pour savoir si a/b et c/d ont la même valeur, avec des dénominateurs non nuls, comparez a × d et b × c. Avec 6/9 et 10/15, on obtient 6 × 15 = 90 et 9 × 10 = 90 : les fractions sont égales. Avec 6/9 et 11/15, on obtient 90 et 99, et elles ne le sont pas. Les produits sont des nombres entiers, il n’y a donc aucun arrondi.

Ce test confirme la valeur, mais ne dit pas si la fraction est irréductible. Si l’on vous demande la forme la plus simple, vérifiez à part que le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur vaut 1. Pour comparer des tailles, l’outil comparer des fractions applique la même méthode, et celui des fractions équivalentes génère des paires comme 6/9 et 10/15.

Estimer le signe et la taille avant de calculer

Une estimation ne prouve pas que le résultat est exact, mais elle écarte en quelques secondes les réponses impossibles. Comparez avec 0, avec 1/2 et avec 1. Une somme de fractions positives est supérieure à chaque terme, et une soustraction dont le premier terme est inférieur au second donne un nombre négatif. Avec 2/9 − 5/6, le résultat doit être négatif, et le calcul donne −11/18. La preuve par l’opération inverse le confirme : −11/18 + 5/6 = 2/9.

Si vous travaillez avec des nombres décimaux, ne comparez pas des valeurs arrondies. Le nombre décimal 0,14 paraît proche de 1/7, mais 7 × 0,14 = 0,98 et non 1. L’écart exact est 1/7 − 14/100 = 1/350. Pour décider si deux valeurs sont égales, revenez à la fraction ou aux produits en croix.

Ce qu’une vérification ne démontre pas

La vérification confirme que l’égalité que vous avez écrite est vraie. Elle ne garantit pas que le problème est bien posé : vous pouvez additionner correctement deux quantités qui n’auraient pas dû l’être, ou utiliser une donnée mal recopiée. Après la preuve, relisez la question et les unités. Pour savoir lire chaque ligne d’une solution, le guide pour comprendre les étapes d’une solution distingue ce qui change de ce qui garde la même valeur.

Pour vous entraîner avec correction automatique, la page s’entraîner sur les fractions contrôle votre réponse, et le guide sur les erreurs fréquentes avec les fractions explique pourquoi les calculs les plus courants échouent.

Sources

• Wikipédia en français, article « Division par zéro » : traite de la division par zéro.