Lire une solution de fractions, c’est attribuer à chaque égalité l’une de quatre étiquettes : E pour équivalence, O pour opération, R pour réduction et C pour contrôle. Dans 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2, il y a trois égalités, une E, une O et une R, et le contrôle C s’écrit à part. Si le résultat final est faux, la première égalité qui ne respecte pas sa condition est celle qu’il faut corriger ; les précédentes restent valables.
| Étiquette | Condition à respecter | Ligne d’exemple |
|---|---|---|
| E, équivalence | Le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même nombre non nul | 3/7 = 9/21 |
| O, opération | Pour une addition ou une soustraction, les parts ont la même taille ; pour un produit ou un quotient, on applique la règle de cette opération | 4/9 + 2/9 = 6/9 |
| R, réduction | Le numérateur et le dénominateur sont divisés par le même facteur | 6/9 = 2/3 |
| C, contrôle | Une autre opération permet de retrouver une donnée du problème | 6/9 − 2/9 = 4/9 |
Ce tableau sert de critère pour tout l’article : chaque ligne d’une solution correspond à une rangée, et chaque rangée a sa propre condition.
Une solution complète, ligne par ligne
Exemple résolu : 5/6 − 1/3
Une carafe contient 5/6 de litre de jus et l’on en sert 1/3 de litre. Combien de jus reste-t-il ?
- E, équivalence. Le PPCM de 6 et de 3 est 6. Multipliez 1/3 par 2/2 : 1/3 = 2/6. La valeur est la même, seule l’écriture change.
- O, opération. Soustrayez des parts de même taille : 5/6 − 2/6 = (5 − 2)/6 = 3/6. Le dénominateur reste le même, car vous continuez à compter des sixièmes.
- R, réduction. Comme 3 et 6 sont divisibles par 3, 3/6 = 1/2.
Le résultat est 1/2 litre.
C, contrôle. 1/2 + 2/6 = 3/6 + 2/6 = 5/6, qui est la quantité de départ.
La réduction est une étape distincte de la soustraction. Le résultat 3/6 n’était pas faux, simplement non réduit. Dans 4/9 + 2/9 = 6/9, il faut aussi réduire, alors que dans 2/8 + 1/8 = 3/8 il n’y a pas de rangée R, car 3 et 8 n’ont aucun facteur commun. Pour trouver le dénominateur commun, vous pouvez utiliser le plus petit dénominateur commun ; pour décider si une fraction est déjà irréductible, simplifier une fraction.
Où la première égalité échoue
Une solution peut avoir un résultat final faux et presque toutes ses lignes justes. Marquez chaque égalité de son étiquette et arrêtez-vous à la première qui ne tient pas.
Additionner les numérateurs est valable lorsque les parts sont égales, comme dans 2/7 + 3/7 = 5/7. Ce qui décide si la règle s’applique, c’est la condition de la rangée O, pas l’aspect des symboles.
Le signe et le nombre mixte
Le signe moins devant un nombre mixte porte sur le nombre entier. −2 1/4 signifie −(2 + 1/4) = −9/4, alors que −2 + 1/4 = −7/4. Si une solution passe de l’un à l’autre sans le dire, l’erreur se trouve dans cette E, même si le reste des lignes semble correct. Avec une fraction négative, le signe est conservé à chaque équivalence : −3/5 = −6/10, jamais 6/10.
Les autres précautions sont peu nombreuses. Aucun dénominateur ne peut être nul et, dans une division, le diviseur non plus. Si le problème comporte des unités, on les écrit à chaque ligne : 7/10 L + 1/5 L = 9/10 L est une somme de litres, alors que 7/10 L + 1/5 m n’est pas une quantité que l’on puisse additionner.
Égalité exacte ou approximation
Une solution peut aussi remplacer une valeur exacte par une valeur arrondie sans le signaler. L’écriture décimale de 1/9 ne s’arrête pas : 1/9 = 0,1̅, le chiffre 1 se répétant indéfiniment. Si vous l’écrivez 0,11, le symbole correct est ≈, et l’écart est 1/9 − 11/100 = 1/900. L’erreur grandit quand on enchaîne les étapes : 9 × 0,11 = 0,99, alors que 9 × 1/9 = 1.
C’est pourquoi, pour vérifier une chaîne d’égalités, utilisez les fractions exactes et gardez l’arrondi pour la fin. Si vous devez convertir, l’outil fraction en décimal indique la partie périodique.
Exercice : repérez la première ligne fausse
Première ligne fausse
Dans chaque solution, indiquez l’étiquette de la première ligne qui ne conserve pas la valeur et réécrivez-la correctement.
- La solution affirme que 3/7 + 1/5 donne 4/12.
- La solution affirme que 4/5 × 3/8 donne 12/13.
- La solution passe de −1/5 + 3/10 à 2/10 + 3/10 et arrive à 5/10.
- Dans 7/8 ÷ 3/4, la solution passe à 8/7 × 3/4 et arrive à 6/7.
Voir les réponses
- La O échoue. On a additionné les numérateurs et aussi les dénominateurs. La somme correcte est 3/7 + 1/5 = 15/35 + 7/35 = 22/35.
- La O échoue. 5 × 8 = 40, et non 13. Le produit correct est 4/5 × 3/8 = 12/40 = 3/10.
- La E échoue, première égalité. −1/5 = −2/10, et non 2/10. La somme correcte est −2/10 + 3/10 = 1/10.
- La O échoue (règle du quotient). On a inversé le dividende, pas le diviseur. Le quotient correct est 7/8 ÷ 3/4 = 7/8 × 4/3 = 28/24 = 7/6.
Après chaque correction, demandez au moins l’une de ces vérifications : l’opération inverse, une estimation de l’ordre de grandeur ou la substitution dans le problème d’origine.
Lire, vérifier et produire une solution
Cet article porte sur la lecture d’une solution qui existe déjà. Pour le travail inverse, confirmer qu’un résultat est correct par une méthode indépendante, consultez le guide pour vérifier un résultat de fractions. Si vous voulez voir les erreurs les plus répandues et comprendre pourquoi elles se produisent, lisez les erreurs avec les fractions. Pour produire les étapes d’une addition, rendez-vous sur la calculatrice d’addition, et la calculatrice de fractions affiche la chaîne complète d’une opération. Si vous accompagnez un enfant dans cet exercice, aider avec les fractions propose des questions à lui poser.
Sources
- OpenStax, Prealgebra 2e, chapitre 4, section 5, « Add and Subtract Fractions with Different Denominators » (en anglais) : indique qu’il faut un dénominateur commun pour additionner ou soustraire des fractions, mais pas pour les multiplier ou les diviser (consulté le 17 octobre 2026).