Eine Bruchlösung zu lesen heißt, jeder Gleichung eines von vier Kürzeln zuzuordnen: G für Gleichwertigkeit, R für Rechenoperation, K für Kürzen und P für Probe. In 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2 stehen drei Gleichungen, eine G, eine R und eine K; die P schreibst du getrennt dazu. Stimmt das Endergebnis nicht, ist die erste Gleichung, die ihre Bedingung nicht erfüllt, die zu korrigierende; die vorherigen bleiben gültig.
| Kürzel | Was gelten muss | Beispielzeile |
|---|---|---|
| G, Gleichwertigkeit | Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl ungleich null multipliziert | 3/7 = 9/21 |
| R, Rechenoperation | Bei Addition und Subtraktion sind die Stücke gleich groß; bei Produkt und Quotient gilt die Regel dieser Operation | 4/9 + 2/9 = 6/9 |
| K, Kürzen | Zähler und Nenner werden durch denselben Faktor geteilt | 6/9 = 2/3 |
| P, Probe | Eine andere Rechnung liefert eine Angabe der Aufgabe zurück | 6/9 − 2/9 = 4/9 |
Die Tabelle ist der Maßstab für den ganzen Beitrag: Jede Zeile einer Lösung fällt in eine Reihe, und jede Reihe hat ihre eigene Bedingung.
Eine vollständige Lösung, Zeile für Zeile
Lösungsbeispiel: 5/6 − 1/3
Eine Karaffe enthält 5/6 l Saft, und 1/3 l wird eingeschenkt. Wie viel Saft bleibt?
- G, Gleichwertigkeit. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 3 ist 6. Erweitere 1/3 mit 2/2: 1/3 = 2/6. Der Wert bleibt gleich, nur die Schreibweise ändert sich.
- R, Rechenoperation. Subtrahiere gleich große Stücke: 5/6 − 2/6 = (5 − 2)/6 = 3/6. Der Nenner bleibt, weil du weiter Sechstel zählst.
- K, Kürzen. Da 3 und 6 durch 3 teilbar sind, ist 3/6 = 1/2.
Das Ergebnis ist 1/2 l.
P, Probe: 1/2 + 2/6 = 3/6 + 2/6 = 5/6, die Ausgangsmenge.
Das Kürzen ist ein eigener Schritt neben der Subtraktion. Das Ergebnis 3/6 war nicht falsch, nur nicht gekürzt. Auch in 4/9 + 2/9 = 6/9 muss gekürzt werden, während in 2/8 + 1/8 = 3/8 keine K-Zeile nötig ist, weil 3 und 8 keinen gemeinsamen Faktor haben. Den gemeinsamen Nenner findest du mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner, und ob ein Bruch schon gekürzt ist, klärt Brüche kürzen.
Wo die erste Gleichung versagt
Eine Lösung kann ein falsches Endergebnis haben und fast alle Zeilen richtig. Versieh jede Gleichung mit ihrem Kürzel und halte bei der ersten an, die nicht trägt.
Zähler zu addieren ist durchaus gültig, wenn die Stücke gleich sind, wie in 2/7 + 3/7 = 5/7. Entscheidend, ob die Regel angewendet werden darf, ist die Bedingung der R-Reihe, nicht das Aussehen der Symbole.
Vorzeichen und gemischte Zahl
Das Minuszeichen vor einer gemischten Zahl betrifft die ganze Zahl. −2 1/4 bedeutet −(2 + 1/4) = −9/4, während −2 + 1/4 = −7/4 ist. Wechselt eine Lösung ohne Hinweis von einem zum anderen, liegt der Fehler in dieser G, auch wenn die übrigen Zeilen richtig aussehen. Bei einem negativen Bruch bleibt das Vorzeichen in jeder Gleichwertigkeit erhalten: −3/5 = −6/10, niemals 6/10.
Weitere Vorsichtsmaßnahmen gibt es wenige. Kein Nenner darf null sein, und bei einer Division auch nicht der Divisor. Hat die Aufgabe Einheiten, schreibst du sie in jede Zeile: 7/10 l + 1/5 l = 9/10 l ist eine Summe von Litern, während 7/10 l + 1/5 m keine addierbare Größe ist.
Exakte Gleichheit oder Näherung
Eine Lösung kann auch einen exakten Wert unbemerkt durch einen gerundeten ersetzen. Die Dezimaldarstellung von 1/9 endet nicht: 1/9 = 0,(1), mit der Periode in Klammern. Schreibst du 0,11, ist das richtige Zeichen ≈, und der Unterschied beträgt 1/9 − 11/100 = 1/900. Der Fehler wächst, wenn Schritte verkettet werden: 9 × 0,11 = 0,99, aber 9 × 1/9 = 1.
Verwende deshalb zur Kontrolle einer Gleichungskette exakte Brüche und runde erst am Ende. Zum Umwandeln markiert das Werkzeug Bruch in Dezimalzahl die Periode.
Übung: Finde die erste falsche Zeile
Erste falsche Zeile
Gib bei jeder Lösung das Kürzel der ersten Zeile an, die den Wert nicht erhält, und schreibe sie richtig.
- Die Lösung sagt, 3/7 + 1/5 ergebe 4/12.
- Die Lösung sagt, 4/5 × 3/8 ergebe 12/13.
- Die Lösung geht von −1/5 + 3/10 zu 2/10 + 3/10 und kommt auf 5/10.
- Bei 7/8 ÷ 3/4 geht die Lösung zu 8/7 × 3/4 und kommt auf 6/7.
Antworten anzeigen
- Die R ist falsch. Es wurden die Zähler und auch die Nenner addiert. Die richtige Summe ist 3/7 + 1/5 = 15/35 + 7/35 = 22/35.
- Die R ist falsch. 5 × 8 = 40, nicht 13. Das richtige Produkt ist 4/5 × 3/8 = 12/40 = 3/10.
- Die G, die erste Gleichung, ist falsch. −1/5 = −2/10, nicht 2/10. Die richtige Summe ist −2/10 + 3/10 = 1/10.
- Die R (Regel für den Quotienten) ist falsch. Es wurde der Dividend gestürzt, nicht der Divisor. Der richtige Quotient ist 7/8 ÷ 3/4 = 7/8 × 4/3 = 28/24 = 7/6.
Verlange nach jeder Korrektur mindestens eine dieser Kontrollen: die Umkehroperation, eine Größenschätzung oder das Einsetzen in die ursprüngliche Aufgabe.
Lesen, überprüfen und eine Lösung erstellen
Dieser Beitrag handelt vom Lesen einer vorhandenen Lösung. Für die umgekehrte Arbeit, ein Ergebnis mit einem unabhängigen Verfahren zu bestätigen, gibt es den Ratgeber Bruchergebnis überprüfen. Möchtest du die häufigsten Fehler und ihre Gründe sehen, schau bei den Fehlern beim Bruchrechnen nach. Um die Schritte einer Addition zu erzeugen, nutze den Rechner zum Addieren; der Bruchrechner zeigt die vollständige Kette einer Rechnung. Wenn du ein Kind bei dieser Übung begleitest, schlägt Bei Bruchaufgaben helfen Fragen vor, die du stellen kannst.
Quellen
- OpenStax, Prealgebra 2e, Kapitel 4, Abschnitt 5, „Add and Subtract Fractions with Different Denominators“ (englisch): Zum Addieren oder Subtrahieren braucht man einen gemeinsamen Nenner, zum Multiplizieren oder Dividieren nicht (abgerufen am 16. Oktober 2026).