Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren folgt vier verschiedenen Regeln, und welche gilt, hängt davon ab, was die Aufgabe verlangt. Mit 3/10 und 1/5 ergeben sich 1/2, 1/10, 3/50 und 3/2, eines je Rechenart. Hinter jeder Aufgabe steckt eine der vier, und ihre Wörter verraten meist, welche. Die Tabelle ordnet sie dem Werkzeug zu, das sie berechnet, und einem geprüften Beispiel; weiter unten verwendet eine Mehlaufgabe alle vier.
| Die Aufgabe sagt | Rechenart | Werkzeug | Beispiel |
|---|---|---|---|
| „insgesamt“, „zusammen“, „dazu“ | Addition | Brüche addieren | 3/8 + 1/6 = 13/24 |
| „wie viel bleibt“, „Unterschied“ | Subtraktion | Brüche subtrahieren | 7/10 − 1/4 = 9/20 |
| „von“, „mal“, „die Hälfte von“ | Multiplikation | Brüche multiplizieren | 3/4 × 2/9 = 1/6 |
| „wie oft passt“, „verteile in Portionen zu“ | Division | Brüche dividieren | 3/5 ÷ 1/10 = 6 |
| Eine gemischte Zahl als Angabe | Die, die der Text verlangt | Gemischte Zahlen | 1 1/4 × 4/5 = 1 |
| Mehrere Rechenarten hintereinander | Verbunden | Bruchterme berechnen | 2/3 + 1/6 × 6/5 = 13/15 |
Die Wörter geben eine Richtung vor, aber der Zusammenhang entscheidet: „die Hälfte von 3/4“ ist ein Produkt, auch wenn kein Zeichen × dasteht. Im Zweifel prüfst du die Größe des Ergebnisses. Addieren und Multiplizieren mit einer Zahl größer als 1 vergrößert; Subtrahieren und Multiplizieren mit einem echten Bruch verkleinert. Das Dividieren durch einen echten Bruch vergrößert, und das überrascht am meisten. Der Bruchrechner führt jede der vier Rechenarten mit sichtbaren Schritten aus.
Eine Aufgabe, die alle vier Rechenarten braucht
Lösungsbeispiel: das Mehl einer Bäckerei
Es gibt 3 1/2 kg Mehl. 3/4 kg werden für einen Teig verwendet. Von dem, was übrig bleibt, werden 2/5 verbraucht, und der Rest wird in Tüten zu 1/4 kg abgefüllt. Wie viele volle Tüten entstehen?
- Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. 3 1/2 = 7/2. Hier gibt es noch keine Rechenoperation, nur eine andere Schreibweise.
- Subtrahiere das Verwendete. 7/2 − 3/4 = 14/4 − 3/4 = 11/4 kg.
- Multipliziere, um den Verbrauch zu finden. „Von dem, was übrig bleibt“ verlangt 2/5 von 11/4: 11/4 × 2/5 = 22/20 = 11/10 kg.
- Subtrahiere noch einmal. 11/4 − 11/10 = 55/20 − 22/20 = 33/20 kg.
- Teile durch die Größe der Tüte. 33/20 ÷ 1/4 = 33/20 × 4 = 33/5 = 6,6.
Es entstehen 6 volle Tüten, und ein Teil einer weiteren bleibt übrig, 0,6 Tüten (3/20 kg).
Zur Probe wiegen 6 Tüten 6/4 = 3/2 kg, also 30/20, und 33/20 − 30/20 = 3/20 kg, weniger als eine Tüte.
Die Reihenfolge der Rechenschritte gab der Text vor, nicht eine Rangfolgeregel: Jede Rechnung nutzte das Ergebnis der vorigen. Steht dagegen alles in einer Zeile, gilt die Rangfolge aus dem nächsten Abschnitt.
Wann du kürzt, vergleichst oder ordnest, statt zu rechnen
Kürzen, Vergleichen und Ordnen sind keine Rechenarten, denn keines davon erzeugt einen neuen Wert. Das Kürzen von 12/18 auf 2/3 erhält den Wert und gehört ans Ende jeder Rechnung, mit dem Kürzen von Brüchen. Beim Vergleichen von 3/7 und 2/5 durch Multiplizieren über Kreuz stehen 3 × 5 = 15 gegen 2 × 7 = 14, also ist 3/7 größer; das Werkzeug Brüche vergleichen löst das ohne Dezimalzahlen, und bei einer langen Liste ordnet Brüche ordnen sie von klein nach groß. Um eine Menge mit anderen Zahlen zu schreiben, multiplizieren gleichwertige Brüche oben und unten mit derselben Zahl, und den fehlenden Wert finden ergänzt eine Gleichung. Brauchst du einen Wert dazwischen, berechnet ihn der Rechner Bruch zwischen zwei Brüchen.
Rangfolge der Rechenarten bei Brüchen
Stehen mehrere Rechenarten in einer Zeile, löst man zuerst die Klammern, dann Produkte und Quotienten und zuletzt Summen und Differenzen. Mit denselben drei Brüchen ändert sich das Ergebnis je nach Klammern: 2/3 + 1/6 × 6/5 = 2/3 + 1/5 = 13/15, aber (2/3 + 1/6) × 6/5 = 5/6 × 6/5 = 1. Der Rechner für Bruchterme wendet diese Rangfolge an und zeigt jeden Schritt, und die Doppelbrüche decken den Fall ab, dass Zähler oder Nenner ganze Ausdrücke sind.
Weitere Fehler dieser Familie, etwa das Addieren der Nenner, werden in Warum man Nenner nicht addiert und in der Liste der häufigen Fehler beim Rechnen mit Brüchen erklärt. Für Addition und Subtraktion mit verschiedenen Nennern ergibt sich der gemeinsame Nenner aus dem kgV; der Ratgeber ggT und kgV im Unterschied zeigt, welches von beiden du brauchst.
Jede Rechenart üben
Nach dem Lesen der Regel lohnt es sich, mehrere Aufgaben hintereinander mit den Antworten daneben zu lösen. Mit dem Aufgabengenerator stellst du ein eigenes Blatt zusammen, und Brüche üben prüft deine Antworten. Für Aufgaben mit Lösung und Probe sieh dir die gelösten Bruchaufgaben an.
Was du als Nächstes lernen kannst
Ändert sich die Schreibweise der Zahl, wandeln die Umrechnungen von Brüchen in Dezimalzahl, Prozent oder gemischte Zahl um. Um zu verstehen, warum es den gemeinsamen Nenner und den gemeinsamen Teiler gibt, erklären die Grundlagen der Teilbarkeit die Basis.