Gib die beiden Grenzen ein, wähle Mittelwert oder Mediant und klicke auf „Berechnen“. Weil zwischen zwei verschiedenen Brüchen unendlich viele liegen, liefert dir jede der beiden Regeln einen gültigen. Warum es immer noch einen weiteren gibt, erklärt der Ratgeber zum Bruch zwischen zwei Brüchen.
Beispiel: ein Bruch dazwischen
Schreibe einen Bruch, der größer als 1/3 und kleiner als 1/2 ist.
- Addiere die Grenzen mit dem Nenner 6: 2/6 + 3/6 = 5/6.
- Teile durch 2: 5/6 ÷ 2 = 5/12.
- Beim Medianten addierst du Zähler und Nenner: (1 + 1)/(3 + 2) = 2/5.
- Zur Probe bringst du alles auf den Nenner 60: 20/60, 24/60, 25/60 und 30/60.
Ergebnis: Der Mittelwert ist 5/12 und der Mediant 2/5, beide liegen zwischen 1/3 und 1/2.
Probe: Mit dem Nenner 60 ist 25 von beiden Grenzen 5 Einheiten entfernt, und 24 ist 4 vom kleineren und 6 vom größeren Wert entfernt.
Welches Verfahren passt?
Der Mittelwert passt, wenn du einen gleich weit entfernten Wert brauchst oder den Durchschnitt zweier Angaben. Der Mediant passt, wenn du einen Bruch mit kleinem Nenner suchst, und er ist die Regel, die das erste neue Glied zwischen zwei Nachbarn der Farey-Folge liefert.
| Grenzen | Mittelwert | Mediant |
|---|---|---|
| 3/5 und 5/8 | 49/80 | 8/13 |
| 1/10 und 1/5 | 3/20 | 2/15 |
| 1 und 2 | 3/2 | 3/2 |
| −1/2 und 1/4 | −1/8 | 0 |
| −3/4 und −2/3 | −17/24 | −5/7 |
Bei Grenzen mit verschiedenen Vorzeichen kann 0 herauskommen, das trotzdem streng dazwischen liegt, und bei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen stimmen beide Verfahren überein.
Unendlich viele Brüche zwischen zwei Werten
Der Rechner zeigt nur einen Bruch, aber er ist nicht der einzige. Berechnest du den Mittelwert zwischen der kleineren Grenze und dem Ergebnis erneut, erhältst du 3/8, das noch näher an der Grenze liegt. Du kannst das beliebig oft wiederholen: Es passt immer noch ein weiterer Wert dazwischen. Diese Eigenschaft heißt Dichtheit der rationalen Zahlen. Um zu sehen, wo die Werte liegen, öffne die Seite zum Darstellen von Brüchen auf der Zahlengerade.
Welche Werte der Rechner annimmt
Die Nenner dürfen nicht null sein. Die Grenzen müssen zwei verschiedene Werte sein, denn zwischen zwei gleichwertigen Brüchen liegt nichts mehr streng dazwischen. Das Ergebnis ist immer ein exakter Bruch, ohne gerundete Dezimalzahl.
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Willst du nur wissen, welcher von zwei Brüchen größer ist, nutze Brüche vergleichen. Mehr als zwei Werte ordnest du mit Brüche ordnen. Den Mittelwert von drei oder mehr Werten berechnest du mit Mittelwert aus Brüchen berechnen. Wenn du von Hand mit gemeinsamem Nenner rechnen willst, erklärt der Ratgeber Bruch zwischen zwei Brüchen finden den Gedankengang und enthält Aufgaben mit Lösungen.
Häufige Fragen
Warum liegt der Mediant immer zwischen den beiden Brüchen?
Bei positiven Nennern ist a/b < c/d äquivalent zu a·d < b·c. Daraus folgt a/b < (a + c)/(b + d) < c/d. Mit 3/7 und 4/5: 3·5 = 15 ist kleiner als 7·4 = 28, und der Mediant 7/12 erfüllt 3/7 < 7/12 < 4/5. Deshalb stimmt der Mediant zweier verschiedener Brüche nie mit einer der Grenzen überein.
Funktioniert das auch mit negativen Brüchen?
Ja, solange das Vorzeichen im Zähler steht. Zwischen −3/4 und 1/2 ist der Mediant (−3 + 1)/(4 + 2) = −1/3. Würdest du 3/(−4) schreiben, ergäbe die Summe 4/(−2) = −2, und das liegt außerhalb des Intervalls. Der Rechner setzt das Vorzeichen vor der Rechnung in den Zähler.
Ändert sich der Mediant, wenn ich die Brüche nicht kürze?
Ja, denn er hängt von der Schreibweise ab. Mit 6/9 und 4/5 ergäbe sich 5/7, aber der Rechner kürzt zuerst: 6/9 wird zu 2/3, und der Mediant von 2/3 und 4/5 ist 3/4. Beide liegen zwischen den Grenzen. Der Mittelwert ändert sich mit der Schreibweise nicht.