Haben a und b verschiedene Werte, liegt der Mittelwert (a + b) ÷ 2 immer zwischen den beiden und ist wieder ein Bruch. Für 2/3 und 3/4 ist das 17/24. Um ihn mit eigenen Werten zu berechnen und zu prüfen, öffne den Rechner Bruch zwischen zwei Brüchen. Hier siehst du das Verfahren, den Fall ohne Lösung und den Grund, warum Brüche dazwischen nie ausgehen.
| Du brauchst | Verfahren | Beispiel |
|---|---|---|
| Irgendeinen Bruch dazwischen | Gemeinsamer Nenner und ein Zähler dazwischen | Zwischen 3/7 und 4/7: 7/14 |
| Den Bruch mit gleichem Abstand | Mittelpunkt, (a + b) ÷ 2 | Zwischen 5/6 und 7/8: 41/48 |
| Mehrere Brüche | Grenzen erweitern und die Zähler in der Lücke nehmen | Zwischen 2/9 und 1/3 mit Nenner 36: 10/36 |
| Grenzen mit verschiedenen Vorzeichen | Derselbe Mittelpunkt, das Vorzeichen steckt in der Summe | Zwischen −5/6 und 1/6: −1/3 |
Der Mittelpunkt liefert genau eine Antwort, der gemeinsame Nenner lässt dir die Wahl zwischen mehreren.
Beispiel: ein Bruch zwischen 2/3 und 3/4
Die Nenner sind verschieden, und keiner der beiden Brüche ist eine ganze Zahl. Du suchst einen Bruch, der echt dazwischen liegt.
- Prüfe, dass sie verschieden sind. 2 × 4 = 8 und 3 × 3 = 9, also haben 2/3 und 3/4 nicht denselben Wert.
- Bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner. Das kgV von 3 und 4 ist 12, es ergeben sich 8/12 und 9/12.
- Addiere. 8/12 + 9/12 = 17/12.
- Teile durch 2. (17/12) ÷ 2 = 17/24.
Ergebnis: 17/24, der Mittelpunkt.
Probe: In Vierundzwanzigsteln sind die Grenzen 16/24 und 18/24, und es gilt 16/24 < 17/24 < 18/24.
Das Ergebnis ist rational, weil das Addieren von Brüchen und das Teilen durch 2 die Form eines Quotienten ganzer Zahlen erhalten. Außerdem liegt es im Intervall: Der Abstand von a zum Mittelpunkt ist (b − a) ÷ 2, positiv, wenn a kleiner als b ist, und der Abstand vom Mittelpunkt zu b ist genauso groß. Gibst du die Grenzen vertauscht ein, ändert sich die Summe nicht, und das Ergebnis bleibt gleich.
Wenn die Zähler direkt aufeinander folgen
Mit gemeinsamem Nenner ist zwischen den Zählern nicht immer Platz. Zwischen 3/7 und 4/7 sind die Zähler 3 und 4 benachbart, und keine ganze Zahl passt dazwischen. Der Ausweg ist Erweitern: Multipliziere Zähler und Nenner beider Brüche mit 2, dann hast du 6/14 und 8/14, und 7/14 liegt in der Mitte. Brauchst du mehrere Brüche, erweitere mit einem größeren Faktor, dann bleiben mehr Zähler frei.
Dieses Verfahren liefert einen Bruch im Inneren, sagt dir aber nicht, welcher der mittlere ist. Für den mittleren nimmst du den Mittelpunkt.
Mit negativen Grenzen oder Grenzen verschiedenen Vorzeichens
Das Verfahren ändert sich bei negativen Zahlen nicht. Zwischen −1/2 und 1/4 ergeben Achtel −4/8 und 2/8; die Summe ist −2/8 und ihre Hälfte −1/8. Die Probe lautet −4/8 < −1/8 < 2/8. Der Mittelpunkt liegt links von null, obwohl die obere Grenze positiv ist, denn −1/2 hat den größeren Betrag als 1/4.
Sind beide Grenzen negativ, ordne sie sorgfältig: Zwischen −3/8 und −1/8 ist −3/8 die kleinere, weil sie weiter von null entfernt ist. Sind sie Gegenzahlen wie −2/5 und 2/5, ist die Summe 0 und der Mittelpunkt 0.
Warum zwischen zwei Werten unendlich viele Brüche liegen
Hast du einen Mittelpunkt m zwischen a und b gefunden, berechne den Mittelpunkt zwischen a und m. Er unterscheidet sich von a und von m und liegt weiterhin im ursprünglichen Intervall. Du kannst das beliebig oft wiederholen, also erreichst du nie einen letzten Zwischenbruch.
Zwischen 0 und 1 liegt 1/2, zwischen 0 und 1/2 die Hälfte dieser Hälfte, und das Halbieren lässt sich ohne Ende fortsetzen. Deshalb hat unter den rationalen Zahlen kein Bruch einen „nächsten“, anders als bei den ganzen Zahlen, wo auf 2 die 3 folgt. Die deutschsprachige Wikipedia beschreibt diese Eigenschaft so, dass die rationalen Zahlen dicht auf der Zahlengeraden liegen.
Einen Fall ohne Zwischenbrüche gibt es: Grenzen mit gleichem Wert. Zwischen 3/5 und 6/10 liegt nichts, denn es ist dieselbe Zahl in zwei Schreibweisen, und zwischen einer Zahl und ihr selbst liegt kein Wert. Darum ist der erste Schritt des Verfahrens die Prüfung, dass die Grenzen verschieden sind.
Mittelpunkt und Mediante sind nicht dasselbe
Die Mediante von p/q und r/s ist (p + r)/(q + s) und liegt bei positiven Nennern ebenfalls im Intervall. Zwischen 1/5 und 1/3 ist die Mediante (1 + 1)/(5 + 3) = 2/8, gekürzt 1/4, der Mittelpunkt dagegen (3/15 + 5/15) ÷ 2 = 4/15. Beide liegen dazwischen, aber 4/15 ist von jeder Grenze 1/15 entfernt, die Mediante dagegen 1/20 von links und 1/12 von rechts.
Wähle den Mittelpunkt, wenn du gleiche Abstände willst. Die Mediante hilft, einfache Brüche zu finden; die Farey-Folge nutzt sie, um geordnete Listen aufzubauen.
Üben
- Bestimme den Mittelpunkt zwischen 1/10 und 3/10.
- Bestimme den Mittelpunkt zwischen −7/8 und −5/8.
- Finde mit einem gemeinsamen Nenner einen Bruch zwischen 5/9 und 6/9.
- Wie viele Brüche liegen zwischen 2/5 und 4/10?
Lösungen anzeigen
- (1/10 + 3/10) ÷ 2 = 1/5, und in Zehnteln gilt 1/10 < 2/10 < 3/10.
- (−7/8 − 5/8) ÷ 2 = −3/4, und in Achteln gilt −7/8 < −6/8 < −5/8.
- In Achtzehnteln sind es 10/18 und 12/18, und 11/18 liegt dazwischen.
- Keiner, denn die Grenzen haben denselben Wert.
Quellen und Werkzeuge
Quelle: Deutschsprachige Wikipedia, Artikel Rationale Zahl, Abschnitt „Eigenschaften“, wo die rationalen Zahlen als dicht auf der Zahlengeraden beschrieben werden (abgerufen am 17. Oktober 2026). Um die Lage zu sehen, nutze die Zahlengerade für Brüche; zum Sortieren von mehr als zwei Werten dient Brüche ordnen.