Tra due frazioni di valore diverso esiste sempre un’altra frazione. Ordina gli estremi a < b e calcola il punto medio (a + b)/2: il risultato è razionale e si trova strettamente tra i due valori. Il metodo funziona anche quando uno o entrambi gli estremi sono negativi.
Se a < b, la distanza da a al punto medio è ((a + b)/2) − a = (b − a)/2, che è positiva. La distanza dal punto medio a b è uguale. Perciò a < (a + b)/2 < b; non serve approssimare con i decimali per verificare l’ordine.
Come si usa un denominatore comune?
Riscrivi le due frazioni con lo stesso denominatore e scegli un numeratore compreso tra i due. Tra 1/2 e 2/3 ottieni 6/12 e 8/12, quindi 7/12 sta nel mezzo. Se i numeratori sono consecutivi, moltiplica entrambi i termini per 2: tra 1/3 e 2/3, cioè 2/6 e 4/6, c’è 3/6 = 1/2. Questo metodo trova una frazione interna; il punto medio, in più, è alla stessa distanza dai due estremi.
Come si calcola il punto medio?
- Controlla che i valori siano distinti. 1/2 e 2/4 sembrano diversi ma indicano lo stesso estremo.
- Ordina gli estremi. Se il primo valore è maggiore, scambia l’ordine.
- Somma le frazioni esattamente. Se i denominatori sono diversi, riscrivile con un denominatore comune.
- Dividi la somma per 2. Il risultato è il punto medio.
- Verifica le disuguaglianze. Il valore ottenuto deve essere maggiore dell’estremo inferiore e minore di quello superiore.
Tra 1/4 e 3/4, la somma è 4/4 = 1; la metà è 1/2. Quindi 1/4 < 1/2 < 3/4. Il punto medio dista un quarto da ciascun estremo.
Come si lavora con denominatori diversi o segni negativi?
Tra 2/3 e 3/4, riscrivi 2/3 = 8/12 e 3/4 = 9/12. La somma è 17/12; dividendola per 2 ottieni 17/24. La verifica esatta è 16/24 < 17/24 < 18/24.
Il metodo vale anche per valori ai due lati dello zero. Tra −1/2 e 1/4, la somma è −2/4 + 1/4 = −1/4 e il punto medio è −1/8. Scrivendo gli estremi in ottavi, si verifica −4/8 < −1/8 < 2/8.
Se inserisci gli estremi al contrario, per esempio 3/4 e 2/3, il punto medio resta 17/24. Per descrivere l’intervallo, però, scrivi prima il minore e poi il maggiore. La calcolatrice per trovare una frazione tra due frazioni ordina i valori e verifica l’ineguaglianza.
Perché tra due frazioni ce ne sono infinite?
Dopo aver trovato un punto medio m tra a e b, calcola il punto medio tra a e m. Il nuovo numero resta dentro l’intervallo e non coincide con gli estremi. Ripetendo il passaggio si ottengono sempre altre frazioni.
Per esempio, tra 1/4 e 3/4 c’è 1/2. Tra 1/4 e 1/2 c’è 3/8; tra 1/2 e 3/4 c’è 5/8. Poi tra 1/4 e 3/8 c’è 5/16. La costruzione può continuare senza arrivare a una “frazione successiva” immediata a 1/4.
- Passaggio 1. Punto medio tra 1/4 e 3/4: 1/2
- Passaggio 2. Punto medio tra 1/4 e 1/2: 3/8
- Passaggio 3. Punto medio tra 1/4 e 3/8: 5/16
1/43/4
¼ < 5/16 < ⅜ < ½ < ¾
Punto medio e medianta sono la stessa cosa?
No. Il punto medio aritmetico è la media dei valori e si trova alla stessa distanza dagli estremi. La medianta, dopo aver scritto p/q e r/s con denominatori positivi, è (p + r)/(q + s). Tra 1/3 e 1/2, il punto medio è 5/12 e la medianta è 2/5; entrambi sono compresi tra gli estremi, ma soltanto 5/12 è equidistante.
La medianta non è la somma ordinaria: 1/3 + 1/2 = 5/6, che si trova fuori dall’intervallo. Inoltre, per ottenere una medianta coerente, si usano forme ridotte degli estremi: con 2/6 al posto di 1/3 si avrebbe 3/8, che è ancora tra gli estremi ma non è la stessa medianta di 2/5. La calcolatrice permette di scegliere tra punto medio e medianta; la retta numerica ne mostra la posizione e confrontare frazioni verifica l’ordine.
Quattro esempi verificati
- Denominatori uguali: tra 2/7 e 4/7, il punto medio è (6/7)/2 = 3/7; infatti 2/7 < 3/7 < 4/7.
- Estremi vicini: tra 5/12 e 1/2 = 6/12, il punto medio è 11/24. In ventiquattresimi, 10/24 < 11/24 < 12/24.
- Due valori negativi: tra −3/4 e −1/4, il punto medio è −1/2; in quarti, −3/4 < −2/4 < −1/4.
- Un estremo intero: tra 1 = 4/4 e 5/4, il punto medio è 9/8; 8/8 < 9/8 < 10/8.
Controesempio: 1/2 e 2/4 hanno valori uguali. La loro media coincide con entrambi, quindi non esiste un valore strettamente tra quei due estremi identici. Conta il valore, non l’aspetto delle scritture.
Verificare esattamente punto medio e medianta
Tra 1/3 e 1/2, il punto medio è (1/3 + 1/2)/2 = 5/12. In dodicesimi, 1/3 = 4/12 e 1/2 = 6/12, quindi 4/12 < 5/12 < 6/12; entrambe le distanze sono 1/12. Anche la medianta 2/5 è interna, ma le sue distanze sono diverse: 2/5 − 1/3 = 1/15 e 1/2 − 2/5 = 1/10. Entrambi i metodi trovano un valore interno, ma solo la media è equidistante dagli estremi.
Invertire l’ordine degli estremi non cambia la media: scambiare a e b lascia invariato (a + b)/2. Occorre comunque verificare che i valori siano diversi; 1/2 e 2/4 non delimitano un intervallo. Lo stesso calcolo delle distanze vale con estremi negativi. Tra −1/2 e 1/4, per esempio, il punto medio è −1/8 e gli ottavi verificano −1/2 < −1/8 < 1/4.
Esercizio svolto: tra 3/8 e 5/8, la media è (3/8 + 5/8)/2 = (8/8)/2 = 1/2. Poiché 1/2 = 4/8, vale 3/8 < 4/8 < 5/8. Il punto medio è comodo perché la verifica è simmetrica; se basta un razionale qualsiasi all’interno, va bene anche una medianta valida alle condizioni di questa guida.