Di antara dua pecahan yang nilainya berbeda selalu ada pecahan lain. Urutkan nilainya sebagai a < b, lalu hitung titik tengahnya, (a + b)/2. Hasilnya bilangan rasional yang lebih besar dari a dan lebih kecil dari b, termasuk jika salah satu atau kedua batas bernilai negatif.
Dengan penyebut yang sama
Tulis kedua pecahan dengan penyebut yang sama, lalu pilih pembilang di antara kedua pembilangnya. Di antara 1/2 dan 2/3: 6/12 dan 8/12, jadi 7/12 berada di tengah-tengahnya. Jika pembilangnya berurutan, kalikan pembilang dan penyebut keduanya dengan 2: di antara 1/3 dan 2/3, bentuk 2/6 dan 4/6 menyisakan 3/6 = 1/2. Cara ini memberi satu pecahan di dalam interval; titik tengah juga memberi pecahan di dalam, dan jaraknya sama ke kedua batas.
Cara mencari titik tengah
Ikuti langkah berikut untuk mendapatkan satu pecahan di antara dua batas:
- Pastikan kedua nilai berbeda; bentuk 1/2 dan 2/4 sebenarnya sama.
- Urutkan batas dari nilai terkecil ke terbesar.
- Jumlahkan kedua pecahan secara eksak dengan penyebut bersama.
- Bagi jumlahnya dengan 2.
- Periksa bahwa hasilnya memenuhi pertidaksamaan a < hasil < b.
Di antara 1/4 dan 3/4, jumlahnya 1/4 + 3/4 = 1. Setengah dari jumlah itu adalah 1/2, sehingga 1/4 < 1/2 < 3/4. Titik tengah berjarak sama dari kedua batas.
Bagaimana menghitungnya jika penyebut berbeda atau ada nilai negatif?
Gunakan penyebut bersama untuk menjumlahkan pecahan, lalu pertahankan tanda negatif saat menghitung. Di antara 2/3 dan 3/4, tulis 2/3 = 16/24 dan 3/4 = 18/24. Titik tengahnya adalah (16/24 + 18/24)/2 = 34/24 ÷ 2 = 17/24. Pemeriksaannya: 16/24 < 17/24 < 18/24.
Titik tengah juga berlaku saat salah satu batas negatif. Di antara −1/2 dan 1/4, jumlahnya −2/4 + 1/4 = −1/4; setelah dibagi 2, hasilnya −1/8. Dalam per delapan, batas-batasnya adalah −4/8 < −1/8 < 2/8.
Jika batas dimasukkan dalam urutan terbalik, tetap urutkan hasil saat menjelaskan letaknya. Kalkulator pecahan di antara dua pecahan mengurutkan batas dan menampilkan pertidaksamaan untuk memeriksa hasil.
Mengapa ada tak terhingga pecahan di antaranya?
Setelah menemukan titik tengah m, cari titik tengah antara batas bawah a dan m. Nilai baru itu tetap lebih besar daripada a dan lebih kecil daripada batas awal b. Proses ini dapat diulang terus, sehingga tidak ada pecahan rasional terakhir di dalam interval.
Sebagai contoh, di antara 1/4 dan 3/4 ada 1/2. Di antara 1/4 dan 1/2 ada 3/8; di antara 1/2 dan 3/4 ada 5/8. Pengulangan berikutnya menghasilkan 5/16 di antara 1/4 dan 3/8.
- Langkah 1. Titik tengah antara 1/4 dan 3/4: 1/2
- Langkah 2. Titik tengah antara 1/4 dan 1/2: 3/8
- Langkah 3. Titik tengah antara 1/4 dan 3/8: 5/16
1/43/4
¼ < 5/16 < ⅜ < ½ < ¾
Contoh tandingan: 1/2 dan 2/4 tampak berbeda, tetapi nilainya sama. Titik tengah keduanya tetap 1/2, bukan nilai yang terletak secara ketat di antara batas. Karena itu, syaratnya adalah dua nilai berbeda, bukan sekadar dua tulisan pecahan yang berbeda.
Titik tengah dan mediant bukan hal yang sama
Titik tengah adalah rata-rata aritmetika. Mediant membentuk pecahan baru dengan menjumlahkan pembilang dan penyebut dari kedua pecahan yang sudah disederhanakan: untuk p/q dan r/s, mediantnya (p + r)/(q + s), dengan penyebut positif.
Untuk 1/3 dan 1/2, mediantnya (1 + 1)/(3 + 2) = 2/5, sedangkan titik tengahnya (1/3 + 1/2)/2 = 5/12. Keduanya berada di antara batas, tetapi hanya 5/12 yang berjarak sama dari kedua batas.
Mediant juga bukan cara menjumlahkan pecahan: 1/3 + 1/2 = 5/6, yang berada di luar interval 1/3 sampai 1/2. Bentuk pecahan perlu disederhanakan sebelum mediant manual dihitung. Misalnya, menulis 1/3 sebagai 2/6 menghasilkan mediant manual 3/8; kalkulator terkait menormalkan masukan sebelum menerapkan metodenya.
Contoh lain yang dapat diperiksa
- Penyebut sama: titik tengah antara 2/7 dan 4/7 adalah (6/7)/2 = 3/7; jadi 2/7 < 3/7 < 4/7.
- Batas berdekatan: 1/2 = 6/12, maka titik tengah antara 5/12 dan 1/2 adalah 11/24; pemeriksaannya 10/24 < 11/24 < 12/24.
- Dua batas negatif: titik tengah antara −3/4 dan −1/4 adalah −1/2, sehingga −3/4 < −2/4 < −1/4.
- Batas berupa bilangan bulat: antara 1 = 4/4 dan 5/4, titik tengahnya 9/8; 8/8 < 9/8 < 10/8.
Memeriksa titik tengah dan mediant secara eksak
Di antara 1/3 dan 1/2, titik tengahnya adalah (1/3 + 1/2)/2 = 5/12. Dalam satuan per dua belas, 1/3=4/12 dan 1/2=6/12, sehingga 4/12 < 5/12 < 6/12; jarak ke setiap ujung adalah 1/12. Mediant 2/5 juga berada di dalam, tetapi jaraknya berbeda: 2/5−1/3=1/15 dan 1/2−2/5=1/10. Kedua cara menemukan nilai di dalam interval, tetapi hanya rata-rata yang berjarak sama dari kedua ujung.
Menukar urutan ujung tidak mengubah rata-rata: pertukaran a dan b tetap menghasilkan (a+b)/2. Namun, pastikan nilainya berbeda; 1/2 dan 2/4 tidak membatasi sebuah interval. Perhitungan jarak yang sama berlaku untuk ujung negatif. Di antara −1/2 dan 1/4, misalnya, titik tengahnya −1/8, dan satuan per delapan membuktikan −1/2 < −1/8 < 1/4.
Latihan terselesaikan: di antara 3/8 dan 5/8, rata-ratanya (3/8+5/8)/2=(8/8)/2=1/2. Karena 1/2=4/8, berlaku 3/8 < 4/8 < 5/8. Titik tengah mudah diperiksa karena jaraknya simetris; jika hanya perlu bilangan rasional di dalam interval, mediant yang sah juga dapat digunakan sesuai syarat panduan ini.
Bacaan terkait: perbandingan pecahan, garis bilangan pecahan.