Se a e b são diferentes, a média (a + b) ÷ 2 fica sempre entre os dois e é outra fração. Para 2/3 e 3/4, essa média é 17/24. Para calcular e conferir com outros valores, abra fração entre duas frações. Aqui estão o método, o caso em que não há resposta e o motivo de as frações intermediárias nunca acabarem.
| Precisa de | Método | Exemplo |
|---|---|---|
| Uma fração qualquer no meio | Denominador comum e numerador intermediário | Entre 3/7 e 4/7: 7/14 |
| A que fica à mesma distância | Ponto médio, (a + b) ÷ 2 | Entre 5/6 e 7/8: 41/48 |
| Várias frações | Ampliar os extremos e tomar os numeradores do intervalo | Entre 2/9 e 1/3 com denominador 36: 10/36 |
| Extremos com sinais diferentes | O mesmo ponto médio, com o sinal na soma | Entre −5/6 e 1/6: −1/3 |
O ponto médio dá uma única resposta, enquanto o denominador comum permite escolher entre várias.
Exemplo resolvido: uma fração entre 2/3 e 3/4
Os denominadores são diferentes e nenhuma das duas é um número inteiro. O objetivo é achar uma fração que fique estritamente no meio.
- Confira que são diferentes. 2 × 4 = 8 e 3 × 3 = 9, então 2/3 e 3/4 não valem o mesmo.
- Passe a um denominador comum. O MMC de 3 e 4 é 12, e ficam 8/12 e 9/12.
- Some. 8/12 + 9/12 = 17/12.
- Divida por 2. (17/12) ÷ 2 = 17/24.
Resultado: 17/24, o ponto médio.
Conferência: em vinte e quatro avos, os extremos são 16/24 e 18/24, e 16/24 < 17/24 < 18/24.
O resultado é racional porque somar frações e dividir por 2 mantém a forma de quociente de inteiros. Além disso, fica dentro do intervalo: a distância de a ao ponto médio é (b − a) ÷ 2, positiva se a é menor que b, e a distância do ponto médio a b vale o mesmo. Se os extremos forem dados ao contrário, a soma não muda e o resultado é o mesmo.
Quando os numeradores ficam seguidos
Com denominador comum nem sempre há espaço entre os numeradores. Entre 3/7 e 4/7, os numeradores 3 e 4 são consecutivos, e não cabe nenhum inteiro. A saída é ampliar: multiplique numerador e denominador das duas frações por 2 e ficam 6/14 e 8/14, com 7/14 no meio. Se precisar de várias, multiplique por um fator maior e haverá mais numeradores livres.
Esse método devolve uma fração interior, mas não diz qual é a central. Para a central, use o ponto médio.
Com extremos negativos ou de sinais diferentes
O método não muda com negativos. Entre −1/2 e 1/4, os oitavos dão −4/8 e 2/8; a soma é −2/8 e a metade, −1/8. A conferência é −4/8 < −1/8 < 2/8. O ponto médio fica à esquerda do zero mesmo que o extremo superior seja positivo, porque −1/2 pesa mais que 1/4.
Se os dois extremos são negativos, ordene com cuidado: entre −3/8 e −1/8 o menor é −3/8, porque está mais longe do zero. Se são opostos, como −2/5 e 2/5, a soma é 0 e o ponto médio é 0.
Por que há infinitas frações entre dois valores
Depois de achar um ponto médio m entre a e b, calcule o ponto médio entre a e m. Ele é diferente de a e de m, e continua dentro do intervalo original. Dá para repetir quantas vezes quiser, então nunca se chega a uma última fração intermediária.
Entre 0 e 1 aparece 1/2, entre 0 e 1/2 aparece a metade dessa metade, e dá para seguir dividindo por 2 sem fim. Por isso nenhuma fração tem fração seguinte entre os racionais, ao contrário dos inteiros, em que depois de 2 vem 3. Em termos matemáticos, os racionais formam um subconjunto denso dos números reais: entre dois números reais distintos sempre há infinitos racionais.
Há um caso sem frações intermediárias: os extremos que valem o mesmo. Entre 3/5 e 6/10 não há nada, porque são o mesmo número escrito de duas formas e não existe valor estritamente entre um número e ele mesmo. Por isso o primeiro passo do método é conferir se os extremos são diferentes.
Ponto médio e mediante não são a mesma coisa
A mediante de p/q e r/s é (p + r)/(q + s), e também cai dentro do intervalo quando os denominadores são positivos. Entre 1/5 e 1/3, a mediante é (1 + 1)/(5 + 3) = 2/8, que simplificado é 1/4, enquanto o ponto médio é (3/15 + 5/15) ÷ 2 = 4/15. Os dois ficam dentro, mas 4/15 está a 1/15 de cada extremo, e a mediante está a 1/20 pela esquerda e a 1/12 pela direita.
Escolha o ponto médio se quiser equidistância. A mediante serve para localizar frações simples; a sequência de Farey o usa para construir listas ordenadas.
Pratique
- Ache o ponto médio entre 1/10 e 3/10.
- Ache o ponto médio entre −7/8 e −5/8.
- Ache uma fração entre 5/9 e 6/9 usando um denominador comum.
- Quantas frações há entre 2/5 e 4/10?
Ver as respostas
- (1/10 + 3/10) ÷ 2 = 1/5, e em décimos 1/10 < 2/10 < 3/10.
- (−7/8 − 5/8) ÷ 2 = −3/4, e em oitavos −7/8 < −6/8 < −5/8.
- Em dezoito avos são 10/18 e 12/18, e 11/18 fica no meio.
- Nenhuma, porque os extremos são o mesmo valor.
Fontes e ferramentas
Fonte: Wikipédia, artigo Número racional, onde os racionais aparecem como subconjunto denso dos números reais (consultado em 17 de outubro de 2026). Para ver as posições, use a reta numérica; para ordenar mais de dois valores, ordenar frações.