Com frações, o MDC serve para simplificar e o MMC serve para somar ou comparar. Com 18 e 24, o MDC vale 6 e o MMC vale 72: 18/24 se reduz a 3/4, e para somar 1/18 + 1/24 tudo passa a setenta e dois avos. (Em Portugal escrevem-se m.d.c. e m.m.c.)
| A pergunta | Ferramenta | Com 18 e 24 |
|---|---|---|
| Por que número divido em cima e em baixo para simplificar? | Máximo divisor comum | MDC(18, 24) = 6 |
| Que denominador uso para somar ou comparar? | Mínimo denominador comum | 72, com 4/72 e 3/72 |
| Qual é o menor múltiplo que eles compartilham? | Mínimo múltiplo comum | MMC(18, 24) = 72 |
| De que primos cada número é feito? | Fatores primos | 18 = 2 × 3² e 24 = 2³ × 3 |
| Que números o dividem exatamente? | Divisores | 24 tem 8: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 |
Leia a tabela pela pergunta que se tem. O MDC e o MMC saem do mesmo par de números, mas respondem a perguntas diferentes: um procura um divisor comum e o outro um múltiplo comum. Se a operação já está escrita, a calculadora de frações acha o denominador comum e mostra os passos.
Um mesmo par de números, dois trabalhos
Exemplo resolvido: MDC e MMC de 18 e 24
Deseja-se reduzir 18/24 e, separadamente, somar 1/18 + 1/24. Que número é necessário em cada caso?
- Decomponha cada número em primos. 18 = 2 × 3² e 24 = 2³ × 3.
- Tome os fatores comuns com o menor expoente. 2 × 3 = 6, que é o MDC.
- Tome todos os fatores com o maior expoente. 2³ × 3² = 72, que é o MMC.
- Reduza com o MDC. 18 ÷ 6 = 3 e 24 ÷ 6 = 4, então 18/24 = 3/4.
- Some com o MMC. 72 ÷ 18 = 4 e 72 ÷ 24 = 3, portanto 1/18 = 4/72 e 1/24 = 3/72.
- Some os numeradores: 4/72 + 3/72 = 7/72, que já não se reduz.
Resultado: MDC = 6, MMC = 72, 18/24 = 3/4 e 1/18 + 1/24 = 7/72.
Conferência: para dois inteiros positivos, MDC × MMC é igual ao produto dos dois números: 6 × 72 = 432 = 18 × 24.
Essa igualdade permite obter um dos dois valores se o outro é conhecido. Para ver o cálculo com divisões sucessivas, em vez de primos, veja o algoritmo de Euclides: 24 = 1 × 18 + 6 e 18 = 3 × 6, então o último resto diferente de zero é 6.
Denominadores diferentes e multiplicação cruzada
Duas frações com denominadores diferentes podem ser somadas com qualquer denominador comum. A multiplicação cruzada usa o produto dos denominadores: 18 × 24 = 432, e então 1/18 + 1/24 = (24 + 18)/432 = 42/432. O valor é o mesmo, mas os números são seis vezes maiores e é preciso reduzir no final: 42/432 = 7/72. O MMC poupa esse último passo porque já é o menor denominador possível. Para decidir qual de duas frações é maior, a multiplicação cruzada é cômoda, e está explicada em comparar frações.
Algo parecido acontece com amplificar e simplificar. Amplificar é multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número, e simplificar é dividi-los pelo mesmo número. As duas operações dão frações equivalentes; a diferença é o sentido. Passar de 3/4 a 72/96 amplifica por 24, e o MDC diz quanto se pode simplificar no máximo. Mais casos em frações equivalentes e em simplificar frações.
Para onde seguir
Cada ferramenta da tabela cuida de um número. Para decidir entre elas com mais calma ou praticar, estas páginas levam mais longe:
- Diferença entre MDC e MMC: um guia para escolher com enunciados em que não se diz qual dos dois usar.
- Critérios de divisibilidade: regras do 2, 3, 5, 9 e 11 para saber se um número é divisível sem fazer a divisão, úteis antes de procurar o MDC.
- Problemas de MDC e MMC resolvidos: divisões em grupos iguais e eventos que coincidem de tempos em tempos, com a escolha explicada em cada caso.
- Operações com frações: as calculadoras que usam esses resultados para somar, subtrair, comparar e simplificar.
- Somar frações: o passo do denominador comum aplicado a uma soma completa, com diferentes tipos de caso.
A ferramenta de divisores só aceita inteiros positivos, porque o zero tem infinitos divisores e não é possível listá-los.