O relógio guarda o costume de contar de sessenta em sessenta, o sistema sexagesimal, que vem da Mesopotâmia e continua no tempo e nos ângulos. Para converter uma fração de hora, use fração de hora para minutos, que dá o resultado em minutos e segundos. Contando divisores, vê-se que o 60 se parte em mais pedaços inteiros do que o 100.
Exemplo resolvido: um terço de hora e um terço de 100
Divida uma hora em três partes iguais. Quantos minutos dura cada uma? Compare com um relógio imaginário de 100 minutos por hora.
- Multiplique por 60. (1/3) × 60 = 60/3.
- Divida. 60 ÷ 3 = 20, sem resto.
- Repita com 100. (1/3) × 100 = 100/3 = 33 e sobra 1.
- Escreva o decimal. 100/3 = 33,3̅, uma dízima periódica (o 3 se repete sem fim).
Resultado: 20 minutos com 60, e 33,3̅ minutos com 100.
Verificação: três partes de 20 minutos somam 60. Três partes de 33,33 minutos (≈ 33,3̅) somam 99,99, e faltam 0,01 minuto; por mais casas decimais que se acrescentem, nunca se chega exatamente a 100 com uma quantidade finita de casas.
A diferença está em que 3 divide 60 e não divide 100. A tabela de divisores e a de frações de hora, abaixo, saem dessa observação.
Os divisores de 60 e de 100
Um divisor de um número é um inteiro que o divide sem resto. Contar divisores é a forma mais direta de medir quantas frações simples de uma unidade dão resultados inteiros.
| Número | Divisores | Quantos |
|---|---|---|
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 | 12 |
| 100 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | 9 |
| 360 | 24 divisores, entre eles 8, 9, 40 e 45 | 24 |
Ao 100 faltam seis dos divisores de 60, entre eles o 3, o 6, o 12 e o 15. Essas ausências é que deixam resto nas frações de hora mais comuns. O 60 é, além disso, o menor número divisível por 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e por isso aparece uma e outra vez nas explicações da origem.
Para contar divisores sem listá-los, decomponha o número em fatores primos, some um a cada expoente e multiplique. Como 60 = 2² × 3 × 5, dá (2+1)(1+1)(1+1) = 12. Como 100 = 2² × 5², dá (2+1)(2+1) = 9. Com 360 = 2³ × 3² × 5 dá 4 × 3 × 2 = 24. Se preferir não fazer a conta à mão, a ferramenta de divisores de um número os lista, e a de fatoração prima mostra a decomposição.
Que frações de hora são minutos inteiros
Uma fração unitária 1/n de hora dá um número inteiro de minutos quando n divide 60. As demais frações com esse denominador se obtêm somando: 2/3 de hora são 40 minutos e 3/4 são 45.
| Fração | Com 60 minutos | Com 100 minutos |
|---|---|---|
| 1/2 | 30 | 50 |
| 1/4 | 15 | 25 |
| 1/5 | 12 | 20 |
| 1/6 | 10 | 16,6̅ |
| 1/12 | 5 | 8,3̅ |
| 1/15 | 4 | 6,6̅ |
Com 100, quartos e quintos continuam saindo inteiros porque 4 e 5 dividem 100. Com 60 saem também sextos, doze avos e quinze avos. O decimal ganha em preços e medições de dez em dez, e o 60 ganha quando a divisão é em terços. Para converter qualquer fração ou decimal de hora, use fração de hora para minutos; para tomar uma parte de qualquer quantidade, fração de uma quantidade.
O que se sabe da origem
A história dos 60 minutos é uma cadeia de heranças com lacunas, e convém separar o que dizem as fontes do que apenas se supõe.
- Atribuição fundamentada. Segundo a história da matemática, o sistema sexagesimal procede dos sumérios, e os babilônios o herdaram. O MacTutor, da Universidade de St Andrews, considera bastante seguro esse caminho sumério.
- Hipóteses sobre o porquê do 60. Teão de Alexandria defendia que 60 é o menor número divisível por 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que os divisores são maximizados. O MacTutor considera essa uma razão erudita demais e lembra que, se o objetivo fossem os divisores, o 12 seria uma base mais provável. Entre as outras ideias estão contar as falanges de uma mão com os dedos da outra, e a fusão de dois povos com bases diferentes, 12 e 5. O MacTutor apresenta esta última como a teoria mais aceita, embora continue sendo hipotética. O MacTutor registra também a ideia de Moritz Cantor de que a base 60 viria de um ano de 360 dias, e a objeção de que os sumérios sabiam com certeza que o ano era mais longo que 360 dias.
- O que não se sabe. O MacTutor (na opinião de seu autor) não crê que alguém tenha escolhido a base e aponta para o modo como surgiu a contagem; uma teoria à parte, de Neugebauer, a liga às medidas de pesos e comprimentos divididas em terços. A Wikipédia observa que seus muitos divisores facilitam o cálculo com frações, mas nenhuma das fontes consultadas demonstra que essa tenha sido a razão de adotá-lo; Teão e Neugebauer o propõem como hipótese.
A astronomia antiga escrevia as frações em sexagesimal. Nessa notação, Ptolomeu escreve π como 3;08,30, isto é, 3 + 8/60 + 30/3600. Na medida do tempo restam vestígios do sistema sexagesimal, com 60 minutos em uma hora e 60 segundos em um minuto. As unidades menores que o segundo usam o sistema decimal.
Por que um círculo tem 360 graus
A tradição babilônica dividiu o círculo em 360 arcos iguais, que são os graus. Segundo a Wikipédia, cada arco recebeu o nome de grau e foi associado a um deus; a ideia do ano de 360 dias já foi discutida acima. O que se pode comprovar é a aritmética: 360 tem 24 divisores e, como 8 divide 360, 1/8 de volta são 360 ÷ 8 = 45 graus, um inteiro. No guia de frações de volta e ângulos há uma tabela de volta para graus, com casos como 1/8 de volta igual a 45°, e o artigo sobre os anos bissextos mostra onde uma fração de dia (≈ 1/4 de dia por ano) decide quando se acrescenta um dia ao calendário.
A tentativa de uma hora de 100 minutos
A Revolução Francesa experimentou a hora decimal. Um decreto de 5 de outubro de 1793 dividiu o dia em dez partes, e cada parte em outras dez. Em 24 de novembro de 1793, essas partes passaram a se chamar horas, com minutos decimais de um centésimo de hora e segundos decimais de um centésimo de minuto. O uso oficial começou em 22 de setembro de 1794, e a obrigação foi suspensa em 7 de abril de 1795.
A reforma não se consolidou. As fontes consultadas não apontam a divisibilidade como causa do abandono. O que o episódio deixa é uma comparação: um dia de dez horas se reparte em metades e quintos, mas não em terços. Para saber se uma fração unitária de um dia é exata em horas, basta perguntar se o denominador divide o número de horas.
Verifique três frações de hora
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Três verificações
- Quantos minutos são 5/6 de hora?
- Quantos minutos são 2/5 de hora?
- Quantos minutos são 3/10 de hora?
Ver as respostas
- 50 minutos, porque (5/6) × 60 = 300/6 = 50.
- 24 minutos, porque 1/5 de hora são 12 minutos e 12 × 2 = 24.
- 18 minutos, porque 60 ÷ 10 = 6 e 6 × 3 = 18.
Fontes
- Wikipédia em espanhol, Sistema sexagesimal (em espanhol): origem suméria, lista de divisores de 60, 60 minutos e 60 segundos, divisão do círculo em 360 partes e π de Ptolomeu como 3;08,30 (consultado em 16 de outubro de 2026).
- MacTutor, Babylonian numerals (em inglês): origem suméria, argumento de Teão de Alexandria sobre os divisores e hipóteses alternativas sobre o 60 (consultado em 16 de outubro de 2026).
- Wikipédia em espanhol, Tiempo decimal (em espanhol): decreto de 5 de outubro de 1793, nomes de horas e minutos decimais de 24 de novembro de 1793, uso oficial desde 22 de setembro de 1794 e suspensão em 7 de abril de 1795 (consultado em 16 de outubro de 2026).