L’horloge a gardé l’habitude de compter de soixante en soixante, le système sexagésimal, venu de Mésopotamie et toujours présent dans le temps et les angles. Si vous cherchez à convertir une fraction d’heure, utilisez fraction d’heure en minutes, qui donne le résultat en minutes et en secondes. En comptant les diviseurs, on voit que 60 se partage en plus de morceaux entiers que 100.
Exemple résolu : un tiers d'heure et un tiers de 100
Vous voulez partager une heure en trois parties égales. Combien de minutes dure chacune ? Comparez avec une horloge imaginaire de 100 minutes par heure.
- Multipliez par 60. (1/3) × 60 = 60/3.
- Divisez. 60 ÷ 3 = 20, sans reste.
- Recommencez avec 100. (1/3) × 100 = 100/3 = 33 et il reste 1.
- Écrivez le décimal. 100/3 = 33,3̅, un décimal périodique (le 3 se répète sans fin).
Résultat : 20 minutes avec 60, et 33,3̅ minutes avec 100.
Vérification : trois parties de 20 minutes font 60. Trois parties de 33,33 minutes (≈ 33,3̅) font 99,99, et il manque 0,01 minute ; quel que soit le nombre de décimales ajoutées, on n'arrive jamais exactement à 100 avec un nombre fini de chiffres.
La différence tient à ce que 3 divise 60 et ne divise pas 100. Le tableau des diviseurs et celui des fractions d’heure ci-dessous découlent de cette observation.
Les diviseurs de 60 et de 100
Un diviseur d’un nombre est un entier qui le divise sans reste. Compter les diviseurs est la façon la plus directe de mesurer combien de fractions simples d’une unité donnent des résultats entiers.
| Nombre | Diviseurs | Combien |
|---|---|---|
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 60 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 | 12 |
| 100 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | 9 |
| 360 | 24 diviseurs, dont 8, 9, 40 et 45 | 24 |
Il manque à 100 six des diviseurs de 60, dont 3, 6, 12 et 15. Ces absences laissent des restes dans les fractions d’heure les plus courantes. De plus, 60 est le plus petit nombre divisible par 1, 2, 3, 4, 5 et 6, ce qui explique qu’il revienne sans cesse dans les explications sur l’origine.
Pour compter les diviseurs sans les lister, décomposez le nombre en facteurs premiers, ajoutez un à chaque exposant et multipliez. Comme 60 = 2² × 3 × 5, on obtient (2+1)(1+1)(1+1) = 12. Comme 100 = 2² × 5², on obtient (2+1)(2+1) = 9. Avec 360 = 2³ × 3² × 5, on obtient 4 × 3 × 2 = 24. Si vous préférez ne pas le faire à la main, l’outil de diviseurs d’un nombre les liste, et celui de décomposition en facteurs premiers montre la décomposition.
Quelles fractions d’heure donnent des minutes entières
Une fraction unitaire 1/n d’heure donne un nombre entier de minutes lorsque n divise 60. Les autres fractions de même dénominateur s’obtiennent par addition : 2/3 d’heure font 40 minutes et 3/4 en font 45.
| Fraction | Avec 60 minutes | Avec 100 minutes |
|---|---|---|
| 1/2 | 30 | 50 |
| 1/4 | 15 | 25 |
| 1/5 | 12 | 20 |
| 1/6 | 10 | 16,6̅ |
| 1/12 | 5 | 8,3̅ |
| 1/15 | 4 | 6,6̅ |
Avec 100, les quarts et les cinquièmes restent entiers parce que 4 et 5 divisent 100. Avec 60, s’ajoutent les sixièmes, les douzièmes et les quinzièmes. Le système décimal l’emporte pour les prix et les mesures qui vont de dix en dix, et le 60 l’emporte quand le partage se fait en tiers. Pour convertir n’importe quelle fraction ou décimal d’heure, utilisez fraction d’heure en minutes ; pour prendre une part d’une quantité quelconque, fraction d’une quantité.
Ce que l’on sait de l’origine
L’histoire des 60 minutes est une chaîne d’héritages avec des trous, et il faut distinguer ce que disent les sources de ce que l’on suppose.
- Attribution étayée. Selon l’histoire des mathématiques, le système sexagésimal vient des Sumériens, et les Babyloniens l’ont hérité. MacTutor, de l’université de St Andrews, juge cette origine sumérienne assez sûre.
- Hypothèses sur le choix du 60. Théon d’Alexandrie soutenait que 60 est le plus petit nombre divisible par 1, 2, 3, 4 et 5, de sorte que le nombre de diviseurs est maximal. MacTutor y voit une raison trop savante et rappelle que, si l’objectif était les diviseurs, 12 serait une base plus probable. Parmi les autres idées figurent le comptage des phalanges d’une main avec les doigts de l’autre, et la fusion de deux peuples aux bases différentes, 12 et 5. MacTutor présente cette dernière comme la théorie la plus répandue, tout en la tenant pour hypothétique. MacTutor rapporte aussi l’idée de Moritz Cantor selon laquelle la base 60 viendrait d’une année de 360 jours, et l’objection que les Sumériens savaient avec certitude que l’année durait plus de 360 jours.
- Ce que l’on ignore. MacTutor (de l’avis de son auteur) ne croit pas que quelqu’un ait choisi la base et renvoie à la façon dont le comptage est apparu ; une autre théorie, celle de Neugebauer, la relie aux mesures de poids et de longueurs partagées en tiers. Wikipédia signale que ses nombreux diviseurs facilitent le calcul avec des fractions, mais aucune des sources consultées ne démontre que ce fut la raison de son adoption ; Théon et Neugebauer la proposent comme hypothèse.
L’astronomie antique écrivait les fractions en sexagésimal. Dans cette notation, Ptolémée écrit π sous la forme 3;08,30, c’est-à-dire 3 + 8/60 + 30/3600. La mesure du temps conserve des vestiges du système sexagésimal, avec 60 minutes dans une heure et 60 secondes dans une minute. Les unités plus petites que la seconde sont décimales.
Pourquoi un cercle compte 360 degrés
La tradition babylonienne a divisé le cercle en 360 arcs égaux, les degrés. Selon Wikipédia, chaque arc a reçu le nom de degré et a été associé à un dieu ; l’idée de l’année de 360 jours a déjà été évoquée plus haut. Ce qui est vérifiable, c’est l’arithmétique : 360 a 24 diviseurs, et comme 8 divise 360, 1/8 de tour fait 360 ÷ 8 = 45 degrés, un entier. Le guide des fractions de tour et des angles contient un tableau de conversion tour-degrés, avec des cas comme 1/8 de tour égal à 45°, et l’article sur les années bissextiles montre où une fraction de jour (≈ 1/4 de jour par an) décide du moment où l’on ajoute un jour au calendrier.
La tentative d’une heure de 100 minutes
La Révolution française a essayé l’heure décimale. Un décret du 5 octobre 1793 a divisé le jour en dix parties, et chaque partie en dix autres. Le 24 novembre 1793, ces parties ont été appelées heures, avec des minutes décimales d’un centième d’heure et des secondes décimales d’un centième de minute. L’usage officiel a commencé le 22 septembre 1794, et l’obligation a été suspendue le 7 avril 1795.
La réforme ne s’est pas installée. Les sources consultées n’indiquent pas la divisibilité comme cause de l’abandon. L’épisode laisse néanmoins une comparaison : un jour de dix heures se partage en moitiés et en cinquièmes, mais pas en tiers. Pour savoir si une fraction unitaire d’un jour tombe juste en heures, il suffit de se demander si le dénominateur divise le nombre d’heures.
Vérifiez trois fractions d’heure
Calculez chaque cas avant d’ouvrir les réponses.
Trois vérifications
- Combien de minutes font 5/6 d’heure ?
- Combien de minutes font 2/5 d’heure ?
- Combien de minutes font 3/10 d’heure ?
Voir les réponses
- 50 minutes, car (5/6) × 60 = 300/6 = 50.
- 24 minutes, car 1/5 d’heure fait 12 minutes et 12 × 2 = 24.
- 18 minutes, car 60 ÷ 10 = 6 et 6 × 3 = 18.
Sources
- Wikipédia en espagnol, Sistema sexagesimal (en espagnol) : origine sumérienne, liste des diviseurs de 60, 60 minutes et 60 secondes, division du cercle en 360 arcs et π de Ptolémée écrit 3;08,30 (consulté le 16 octobre 2026).
- MacTutor, Babylonian numerals (en anglais) : origine sumérienne, argument de Théon d’Alexandrie sur les diviseurs et hypothèses alternatives sur le 60 (consulté le 16 octobre 2026).
- Wikipédia en espagnol, Tiempo decimal (en espagnol) : décret du 5 octobre 1793, noms des heures et minutes décimales du 24 novembre 1793, usage officiel à partir du 22 septembre 1794 et suspension le 7 avril 1795 (consulté le 16 octobre 2026).