Une fraction s’est écrite de bien des façons avant d’arriver à la forme actuelle. En Égypte, c’était une somme de parts de numérateur 1 ; en Mésopotamie, on l’écrivait en base 60 ; la barre de fraction horizontale est attribuée à al-Ḥaṣṣār, vers 1200. Elle est postérieure aux fractions unitaires et à la base 60, et antérieure au signe ÷ (1659) et aux nombres décimaux en Europe (Stevin, 1585).
| Jalon | Ce qui est affirmé | Nature de l'appui |
|---|---|---|
| Papyrus de Rhind | Fractions écrites comme sommes de parts de numérateur 1, à l'exception de 2/3 | Preuve documentaire |
| Base 60 | Fractions dont les dénominateurs sont des puissances de 60 | Preuve documentaire ; la raison du choix de 60 est une hypothèse |
| Barre horizontale | Apparaît dans l'œuvre d'al-Ḥaṣṣār, vers 1200 | Attribution de l'historiographie |
| Liber Abaci | Diffuse en Europe les chiffres indo-arabes (1202) | Preuve documentaire |
| De Thiende | Introduit les nombres décimaux dans les mathématiques européennes (1585) | Preuve documentaire |
| Signe ÷ | Premier emploi pour diviser dans un livre de Rahn (1659) | Preuve documentaire ; la paternité du signe est discutée |
La dernière colonne indique le poids de chaque donnée. « Preuve documentaire » signifie qu’un texte le montre ; « attribution » ou « hypothèse » désigne une lecture des historiens. Vous pouvez essayer le premier jalon avec l’outil des fractions égyptiennes.
L’Égypte : des sommes de fractions unitaires
Selon MacTutor, les Égyptiens utilisaient des fractions unitaires, à l’exception de 2/3 ; toute autre quantité s’écrivait donc comme une somme de fractions unitaires distinctes. Le papyrus de Rhind en témoigne : le scribe Ahmès l’a rédigé vers le milieu du XVIe siècle av. J.-C. et, d’après Ahmès lui-même, il reprend des textes vieux d’environ trois cents ans. Il contient une table pour doubler les fractions unitaires 1/n, avec n impair de 5 à 101.
Les historiens ne s’accordent pas sur les règles que suivaient les scribes pour choisir chaque décomposition. Aujourd’hui, on peut en obtenir une avec la méthode gloutonne, qui prend toujours la plus grande fraction unitaire possible. L’exemple suivant en obtient une.
Exemple résolu : 2/5 en fractions unitaires
Comment écrire 2/5 sans numérateur supérieur à 1 ?
- Prenez la plus grande fraction unitaire possible. 1/2 est trop grande, car 1/2 > 2/5. La suivante, 1/3, convient.
- Soustrayez. 2/5 − 1/3 = 6/15 − 5/15 = 1/15, qui est déjà unitaire.
- Écrivez la somme. On obtient 1/3 + 1/15.
Ainsi, 2/5 s'écrit 1/3 + 1/15.
Vérification. En additionnant, 5/15 + 1/15 = 6/15, et en divisant par 3 en haut et en bas, on retrouve la fraction de départ.
L’outil des fractions égyptiennes applique cette même méthode à toute fraction positive et montre chaque soustraction.
La Mésopotamie : une base où 1/3 se termine
Les Babyloniens écrivaient les fractions en numération de position, comme on écrit aujourd’hui les nombres décimaux, mais avec des puissances de 60 au lieu de puissances de 10. MacTutor donne un exemple : 0 ; 7 30 vaut 7/60 + 30/3600, c’est-à-dire 1/8. Aucun signe ne séparait la partie entière de la partie fractionnaire, et c’est le contexte qui tranchait.
L’avantage de cette base est que 60 est divisible par 2, par 3 et par 5 : une fraction irréductible a une écriture finie en base 60 si son dénominateur n’a que ces facteurs premiers. Un tiers vaut 20/60 et s’écrit sans reste, alors qu’en base 10 il donne 0,333… sans fin. On ignore pourquoi 60 a été choisi ; MacTutor passe en revue plusieurs hypothèses, dont aucune n’est concluante.
L’héritage actuel, lui, est sûr. Une heure compte 60 minutes et une minute 60 secondes, et les Babyloniens divisaient le cercle en 360 parties, les degrés. Les 45 minutes de trois quarts d’heure viennent de cet héritage. L’article sur pourquoi une heure compte 60 minutes développe la divisibilité de 60 face à celle de 100.
La barre horizontale : d’al-Ḥaṣṣār à Fibonacci
En Inde et dans le monde islamique, les fractions s’écrivaient avec le numérateur au-dessus du dénominateur, sans rien entre les deux. Wikipédia en anglais le signale pour des mathématiciens indiens comme Brahmagupta (vers 628), et Wikipédia en espagnol le cite chez al-Khwarizmi (IXe siècle) et al-Uqlidisi (Xe siècle). Selon Wikipédia en anglais, la barre horizontale apparaît pour la première fois dans l’œuvre d’al-Ḥaṣṣār, mathématicien de Fès actif vers 1200 et spécialiste des héritages. C’est une attribution de la bibliographie secondaire, non une citation d’un texte d’al-Ḥaṣṣār.
Fibonacci a publié le Liber Abaci en 1202, à son retour en Italie. MacTutor le décrit comme un livre consacré surtout aux chiffres arabes, qui a apporté en Europe le système de position indo-arabe. Wikipédia en espagnol ajoute qu’il a diffusé la notation avec une barre entre numérateur et dénominateur. Vers 1700, la barre, horizontale ou oblique, était d’usage général.
Des décimaux de Stevin au signe ÷
Simon Stevin a publié en 1585 La Thiende, une brochure de 29 pages destinée aux astronomes, arpenteurs, commerçants et responsables des monnaies. MacTutor précise qu’il n’a pas inventé les nombres décimaux, que les Arabes et les Chinois employaient bien avant lui, mais qu’il les a introduits dans les mathématiques européennes. Sa notation s’est transformée, avec Clavius et Napier, en celle d’aujourd’hui. En écriture décimale, 3/4 s’écrit 0,75 ; le chemin inverse est celui de l’outil décimal en fraction.
Le signe ÷ apparaît comme symbole de division dans la Teutsche Algebra de Johann Rahn, en 1659. Selon Wikipédia en espagnol, c’est peut-être John Pell, éditeur du livre, qui l’y a introduit. Auparavant, c’était une marque d’édition, qu’Aristarque de Samothrace utilisait pour signaler des passages douteux d’Homère. Aujourd’hui, ÷ et la barre oblique de 3/4 se lisent de la même façon, mais ce n’est pas le même signe : la barre fait partie du nombre, tandis que ÷ indique une opération.
Trois quarts en quatre écritures
Chaque époque a écrit trois quarts à sa manière, et les quatre formes sont exactes. Le tableau des fractions, décimaux et pourcentages permet de passer de l’une à l’autre.
| Notation | Écriture | Comment vérifier |
|---|---|---|
| Unitaires (Égypte) | 1/2 + 1/4 | 2/4 + 1/4 = 3/4 |
| Base 60 | 45/60 (0 ; 45) | 45/60 = 3/4 en divisant par 15 |
| Barre horizontale | 3 sur 4 | C'est la fraction elle-même |
| Décimale (depuis Stevin) | 0,75 | 75/100 se simplifie par 25 |
Les quatre lignes ont la même valeur ; seule change l’opération qui devient commode. Additionner des parts est facile avec des unitaires, partager le temps est facile en base 60, et comparer des quantités est facile avec des décimaux. Pour voir quand un décimal s’arrête et quand il se répète, utilisez fraction en décimal ; pour comprendre ce que signifie chaque partie, le guide comprendre les fractions et celui sur lire et écrire des fractions partent de zéro.
Pratiquez
Trois vérifications
- Vérifiez que 1/4 + 1/6 + 1/12 est égal à un demi.
- Écrivez 1/8 d’heure en minutes.
- Écrivez 7/10 comme somme de deux fractions unitaires distinctes.
Voir les réponses
- Avec le dénominateur commun 12, on obtient 3/12 + 2/12 + 1/12 = 6/12, soit 1/2.
- Cela fait 7,5 minutes, c’est-à-dire 7 minutes et 30 secondes, ce qui correspond au 0 ; 7 30 des Babyloniens.
- 1/2 + 1/5, car 5/10 + 2/10 = 7/10.
Sources
- MacTutor (université de St Andrews), Egyptian mathematical papyri, en anglais : fractions unitaires et table des fractions unitaires doublées (consulté le 16 octobre 2026).
- Wikipédia en espagnol, Papiro de Rhind : date, scribe Ahmès et textes plus anciens (consulté le 16 octobre 2026).
- MacTutor, Babylonian numerals, en anglais : fractions en base 60 et hypothèses sur son origine (consulté le 16 octobre 2026).
- Wikipédia en espagnol, Sistema sexagesimal : emploi pour le temps et les angles (consulté le 16 octobre 2026).
- Wikipédia en espagnol, article sur les fractions : notation dans le monde islamique, Fibonacci et la barre (consulté le 16 octobre 2026).
- Wikipédia en anglais, Fraction : notation indienne, al-Ḥaṣṣār et la barre horizontale (consulté le 16 octobre 2026).
- MacTutor, Fibonacci, en anglais : Liber Abaci, 1202 (consulté le 16 octobre 2026).
- MacTutor, Stevin, en anglais : La Thiende, 1585 (consulté le 16 octobre 2026).
- Wikipédia en espagnol, Óbelo : ÷ dans la Teutsche Algebra, 1659 (consulté le 16 octobre 2026).