Une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires distinctes. L’algorithme glouton, que cette calculatrice utilise, retranche à chaque étape la plus grande fraction unitaire contenue dans ce qui reste. Pour écrire une fraction supérieure à 1, on sépare d’abord sa partie entière.
Décomposer 4/13 avec l’algorithme glouton
Chaque étape comporte deux parties : choisir le dénominateur, puis soustraire. On obtient le dénominateur en divisant le dénominateur du reste par son numérateur et en arrondissant à l’entier supérieur.
Exemple résolu : de la fraction aux fractions unitaires
Écrivez 4/13 comme somme de fractions unitaires distinctes.
- Premier terme : 13 ÷ 4 = 3,25, qui monte à 4. On prend la fraction unitaire de dénominateur 4 ; une plus grande ne tient plus.
- Premier reste : 4/13 − 1/4 = 16/52 − 13/52 = 3/52.
- Deuxième terme : 52 ÷ 3 = 17,33…, arrondi à 18. La fraction unitaire est 1/18.
- Deuxième reste : 3/52 − 1/18 = 27/468 − 26/468 = 1/468.
- Troisième terme : le reste est déjà une fraction unitaire, on l’ajoute tel quel et il reste 0.
Résultat : 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468.
Vérification : 1/4 + 1/18 = 11/36, et 4/13 − 11/36 = 144/468 − 143/468 = 1/468, exactement le dernier terme.
Les dénominateurs 4, 18 et 468 augmentent à chaque étape, donc aucun terme ne se répète, et le calcul s’arrête quand le reste vaut 0.
Ce que donne la méthode pour différentes fractions
| Fraction | Décomposition gloutonne | Ce qu’on observe |
|---|---|---|
| 2/13 | 1/7 + 1/91 | Deux termes, et le second dénominateur vaut 13 fois le premier |
| 7/15 | 1/3 + 1/8 + 1/120 | Trois termes, dénominateurs croissants |
| 3/7 | 1/3 + 1/11 + 1/231 | Trois termes, et le dernier dénominateur vaut 11 fois 21 |
Le tableau montre que le nombre de termes ne suit pas la taille de la fraction : 2/13 en demande deux, tandis que 3/7 et 7/15 en demandent trois.
Comment lire un résultat incomplet
Quand la limite de termes coupe le calcul avant d’arriver à 0, la somme obtenue n’est pas encore votre fraction. Ajoutez le reste exact affiché en dessous et vous retrouverez la valeur saisie. Si vous réglez volontairement une limite basse, vous pouvez suivre la méthode terme par terme et comparer chaque reste avec votre calcul à la main.
Pour additionner des termes de dénominateurs différents, il faut un dénominateur commun, et les fractions équivalentes y aident. Si vous cherchez une autre façon d’écrire un rationnel comme une chaîne d’opérations, les fractions continues l’expriment avec des inverses imbriqués. Le guide des fractions unitaires explique comment les comparer et les ordonner, et l’article sur l’histoire des fractions en situe l’origine.
Sources
Wikipédia en français, article Fraction égyptienne : définit la fraction égyptienne comme une somme de fractions unitaires distinctes, décrit l’algorithme glouton de Fibonacci-Sylvester, indique qu’un rationnel positif s’écrit ainsi d’une infinité de façons, et date le papyrus Rhind d’environ 1650 av. J.-C., conservé au British Museum (consulté le 17 octobre 2026).
Questions fréquentes
La décomposition en fractions égyptiennes est-elle unique ?
Non. Une même fraction admet plusieurs sommes de fractions unitaires distinctes. Par exemple, 5/6 = 1/2 + 1/3 et aussi 5/6 = 1/2 + 1/4 + 1/12, car 6/12 + 3/12 + 1/12 = 10/12. La calculatrice applique toujours l’algorithme glouton : une même saisie donne donc toujours le même résultat.
Pourquoi l’algorithme glouton se termine-t-il ?
À chaque étape, le nouveau numérateur a·n − d est un entier positif ou nul, inférieur au numérateur précédent a. Une suite d’entiers qui diminue sans cesse finit par atteindre 0, et cela arrive en a étapes au plus. Dans l’exemple résolu, les numérateurs sont 4, 3, 1 puis 0, et le calcul s’arrête.
Pourquoi parle-t-on de fractions égyptiennes ?
Parce que l’Égypte ancienne écrivait les fractions comme des sommes de fractions unitaires. Le papyrus d’Ahmès, ou papyrus Rhind, daté d’environ 1650 av. J.-C. et conservé au British Museum, est l’un des documents qui le montrent. Le contexte figure dans l’histoire des fractions. L’algorithme glouton porte aussi le nom d’algorithme de Sylvester.
Quelle est la décomposition la plus courte d’une fraction ?
Il n’existe pas de formule simple, et l’algorithme glouton ne la donne pas toujours. Pour 5/121, il donne cinq termes dont le dernier dénominateur compte 25 chiffres, alors que 5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363 n’en utilise que trois : 11/363 + 3/363 + 1/363 = 15/363 = 5/121. Pour en chercher une plus courte, il faut essayer d’autres combinaisons.