Uma fração egípcia é uma soma de frações unitárias distintas. O método guloso, que esta calculadora usa, subtrai em cada passo a maior fração unitária que cabe no que sobra. Para escrever uma fração maior que 1, separa-se primeiro a parte inteira.
Decompor 4/13 com o método guloso
Cada passo tem duas partes: escolher o denominador e subtrair. O denominador sai da divisão do denominador do resto pelo seu numerador, arredondada para cima.
Exemplo resolvido: de fração a unitárias
Escreva 4/13 como soma de frações unitárias distintas.
- Primeiro termo: 13 ÷ 4 = 3,25, que sobe para 4. Toma-se a unitária de denominador 4; uma maior já não cabe.
- Primeiro resto: 4/13 − 1/4 = 16/52 − 13/52 = 3/52.
- Segundo termo: 52 ÷ 3 = 17,33…, que sobe para 18. A unitária é 1/18.
- Segundo resto: 3/52 − 1/18 = 27/468 − 26/468 = 1/468.
- Terceiro termo: o resto já é uma fração unitária, então entra como está e sobra 0.
Resultado: 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468.
Verificação: 1/4 + 1/18 = 11/36, e 4/13 − 11/36 = 144/468 − 143/468 = 1/468, exatamente o último termo.
Os denominadores 4, 18 e 468 crescem a cada passo, então nenhum termo se repete, e o processo termina quando o resto é 0.
Que resultado o método dá em diferentes frações
| Fração | Decomposição gulosa | O que se observa |
|---|---|---|
| 2/13 | 1/7 + 1/91 | Dois termos, e o segundo denominador é 13 vezes o primeiro |
| 7/15 | 1/3 + 1/8 + 1/120 | Três termos, denominadores crescentes |
| 3/7 | 1/3 + 1/11 + 1/231 | Três termos, e o último denominador é 11 vezes 21 |
A tabela mostra que o número de termos não acompanha o tamanho da fração: 2/13 precisa de dois, e 3/7 e 7/15, de três.
Como ler um resultado incompleto
Quando o limite de termos corta antes de chegar a 0, a soma obtida ainda não é a fração de entrada. Some o resto exato que aparece abaixo e o valor de entrada será recuperado. Se o limite for baixo de propósito, dá para acompanhar o método termo a termo e comparar cada resto com a conta feita à mão.
Para somar termos com denominadores diferentes é preciso um denominador comum, e aí ajudam as frações equivalentes. Para escrever um racional de outra maneira, como cadeia de operações, as frações contínuas o expressam com recíprocos encadeados. O guia de frações unitárias explica como se comparam e se ordenam, e o artigo sobre a história das frações situa a origem delas.
Fontes
Wikipédia em espanhol, artigo sobre frações egípcias: define a fração egípcia como soma de frações unitárias distintas, atribui o algoritmo guloso a Sylvester, afirma que a representação não é única e que o algoritmo nem sempre dá a mais curta, e situa o papiro de Ahmes por volta de 1650 a. C. no Museu Britânico (consultado em 16 de outubro de 2026).
Perguntas frequentes
A decomposição em frações egípcias é única?
Não. Uma mesma fração admite várias somas de unitárias distintas. Por exemplo, 5/6 = 1/2 + 1/3 e também 5/6 = 1/2 + 1/4 + 1/12, porque 6/12 + 3/12 + 1/12 = 10/12. A calculadora aplica sempre o método guloso, então a mesma entrada dá o mesmo resultado.
Por que o método guloso termina?
A cada passo, o novo numerador, a·n − d, é inteiro, não negativo e menor que o numerador anterior a. Uma sequência de inteiros que não para de diminuir tem de chegar a 0, e isso acontece em no máximo a passos. No exemplo resolvido, os numeradores são 4, 3, 1 e 0, e o processo para.
Por que se chamam frações egípcias?
Porque o Egito antigo escrevia as frações como somas de unitárias. O papiro de Ahmes, ou papiro Rhind, de cerca de 1650 a. C. e conservado no Museu Britânico, é um dos documentos que mostram isso. O contexto está na história das frações. O método guloso também se chama algoritmo de Sylvester.
Qual é a decomposição mais curta de uma fração?
Não existe uma fórmula simples, e o método guloso nem sempre a fornece. Para 5/121, ele dá cinco termos e o último denominador tem 25 algarismos, enquanto 5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363 usa três: 11/363 + 3/363 + 1/363 = 15/363 = 5/121. Para achar uma mais curta, é preciso testar outras combinações.