Frações unitárias: o que são e como ordenar

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Uma fração unitária é a que tem 1 no numerador, como 1/2, 1/7 ou 1/10. Entre duas delas, é maior a de denominador menor, porque o todo é repartido em menos pedaços; por isso 1/5 é maior que 1/8. Com essa regra, uma lista se ordena sem passar para decimais. Para escrever uma fração como soma de frações unitárias distintas, use a calculadora de frações egípcias; aqui o assunto é o que elas são e como se comparam.

O que torna unitária uma fração

Numa fração unitária, o numerador é 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ela conta uma única parte de um todo dividido em partes iguais. Por isso 1/4 e 1/100 são unitárias, enquanto 2/5 e 3/4 não são, pois o numerador não é 1. Um denominador 0 não define fração alguma, então 1/0 fica de fora.

A palavra descreve como a fração se escreve, não quanto ela vale. 1/2 e 1/100 são ambas unitárias, e uma vale cinquenta vezes a outra. Para rever as partes de uma fração, o guia de numerador e denominador as separa com calma, e para desenhar uma fração unitária serve a ferramenta de representar frações.

Por que um denominador maior dá uma parte menor

Divida uma barra em 5 partes iguais e outra barra igual em 8. Para caberem oito pedaços, é preciso cortá-los mais finos, então cada oitavo é menor que cada quinto. O argumento dispensa decimais: n cópias de 1/n sempre enchem o todo, e se são necessárias mais cópias, cada uma é menor.

Outra leitura é a divisão: 1 ÷ 5 = 0,2 e 1 ÷ 8 = 0,125, e dividir 1 por um número maior dá um quociente menor. A comparação só vale se o todo for o mesmo. A metade de uma pizza pequena não é igual à metade de uma grande, ponto que o guia de frações com o mesmo todo desenvolve.

Ordenar uma lista de frações unitárias

Para ordenar frações unitárias, colocam-se os denominadores do menor para o maior e escrevem-se as frações nessa mesma ordem. A lista fica do maior para o menor sem nenhuma conta.

A regra do denominador serve quando os numeradores são iguais e falha assim que eles mudam.

Na última linha, o denominador 4 é maior que o 3 e mesmo assim a fração 3/4 é a maior; só as duas primeiras linhas se resolvem num relance. Para o resto, a calculadora de comparar frações usa multiplicação cruzada, e a de ordenar frações devolve a lista completa. Na reta numérica, as frações unitárias se aproximam de 0 à medida que o denominador cresce, e o guia de frações de referência ensina a estimar com 0, 1/2 e 1.

A distância entre frações unitárias vizinhas

Duas frações unitárias consecutivas, 1/n e 1/(n + 1), distam exatamente 1/(n × (n + 1)). O resultado sai da subtração com denominador comum: 1/n − 1/(n + 1) = (n + 1)/(n × (n + 1)) − n/(n × (n + 1)) = 1/(n × (n + 1)).

A separação diminui muito depressa, e por isso as frações unitárias de denominador grande se aglomeram junto ao 0 na reta. Num desenho, essas duas frações quase se confundem, mas distam 1/380, que não é zero. Para uma subtração qualquer, a calculadora de subtrair frações mostra o denominador comum.

Somar frações unitárias

Para somar 1/a + 1/b, procura-se um denominador comum, por exemplo o mínimo múltiplo comum (MMC) de a e b. Com 1/14 + 1/21, o MMC é 42, e 3/42 + 2/42 = 5/42. Os denominadores não se somam. Somá-los daria 2/35, que é menor que a parcela 1/14, algo impossível ao acrescentar quantidades positivas; o guia de por que não somar os denominadores explica isso com desenhos.

Em geral, 1/a + 1/b = (a + b)/(a × b), e o resultado é uma fração unitária só se, depois de simplificar, o numerador ficar em 1. Acontece com 1/9 + 1/18 = 3/18 = 1/6, e não acontece com 1/6 + 1/7 = 13/42. Por isso é preciso simplificar e olhar o numerador final, em vez de deduzi-lo das parcelas. A calculadora de somar frações faz a conta e simplifica, e a de mínimo denominador comum mostra o denominador compartilhado.

Qualquer fração com frações unitárias

Toda fração a/b é a soma de a cópias de 1/b. Assim, 3/11 = 1/11 + 1/11 + 1/11, e por isso frações de mesmo denominador se somam contando os numeradores: juntam-se peças do mesmo tamanho.

Há outra forma de decompor, com frações unitárias de denominadores distintos, que é o terreno das frações egípcias. Por exemplo, 7/10 = 1/2 + 1/5, e 5/6 = 1/2 + 1/3 porque 3/6 + 2/6 = 5/6. Toda fração positiva admite uma decomposição assim, e ela não é única. A calculadora de frações egípcias obtém uma, o guia de outras representações de frações compara essa notação com as frações contínuas e o de tipos de frações situa a fração unitária entre próprias, impróprias e aparentes.

Para praticar

Resolva primeiro à mão e confira depois. Para ver as partes num modelo visual, a ferramenta de representar frações desenha cada fração em barras.