Pecahan satuan adalah pecahan dengan pembilang 1, seperti 1/2, 1/3, 1/5, atau 1/8: setiap pecahan mewakili satu bagian dari keseluruhan yang dibagi menjadi bagian sama besar. Semakin besar penyebut, semakin kecil bagiannya, sehingga 1/5 lebih besar dari 1/8. Dalam urutan menurun, 1/2 > 1/3 > 1/4: setiap bagian lebih kecil dari bagian sebelumnya.
Intinya
- Pecahan satuan memiliki pembilang 1 dan penyebut bilangan bulat positif: 1/2, 1/3, 1/5, 1/8.
- Dengan keseluruhan yang sama, penyebut lebih besar menghasilkan bagian lebih kecil: 1/8 < 1/5.
- Urutan dari terbesar ke terkecil adalah kebalikan urutan penyebutnya: 1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/5.
- Setiap pecahan sejati a/b sama dengan a salinan 1/b: 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5.
- Selisih dua pecahan satuan berurutan adalah 1/n − 1/(n+1) = 1/(n(n+1)): 1/3 − 1/4 = 1/12.
- Jumlah dua pecahan satuan berbeda selalu lebih besar dari masing-masing: 1/2 + 1/3 = 5/6.
Apa itu pecahan satuan?
Pecahan satuan memiliki 1 sebagai pembilang dan penyebut bilangan bulat positif: 1/2, 1/3, 1/5, 1/10, atau 1/100. Pembilang menghitung satu bagian saja, dan penyebut menunjukkan keseluruhan dibagi menjadi berapa bagian sama besar. Menulis 1/8 berarti mengambil satu dari delapan bagian keseluruhan; menulis 1/100 berarti mengambil satu dari seratus bagian. Pecahan apa pun yang pembilangnya bukan 1, seperti 2/5 atau 3/4, bukan pecahan satuan, meskipun nilainya kecil.
Syarat penyebut juga penting. Penyebut nol tidak mendefinisikan pecahan, jadi tidak ada 1/0 maupun pecahan satuan berpenyebut 0. Sebaliknya, 1/1 adalah pecahan satuan dan bernilai 1: keseluruhan dibagi menjadi satu bagian. Untuk menggambar pecahan satuan dan melihat bagian yang sama besar, gunakan alat untuk memvisualisasikan pecahan. Untuk membandingkannya dengan tepat, kalkulator pembanding pecahan memakai perkalian silang dan tidak bergantung pada desimal hasil pembulatan.
Satu gagasan sebaiknya dipisahkan sejak awal: “satuan” menjelaskan cara penulisan pecahan, bukan ukurannya. 1/2 = 0,5 dan 1/100 = 0,01 keduanya pecahan satuan, tetapi yang satu lima puluh kali yang lain. Pembilang 1 hanya mengatakan bahwa satu bagian diambil; penyebut menentukan berapa nilai bagian itu.
Pecahan satuan mengukur berapa banyak potongan berukuran sama yang memenuhi keseluruhan. Dibutuhkan 2 salinan 1/2, 3 salinan 1/3, atau 8 salinan 1/8 untuk melengkapi keseluruhan, karena n salinan 1/n membentuk n/n = 1. Hubungan ini menjelaskan mengapa penyebut kecil menghasilkan bagian besar: semakin sedikit salinan yang dibutuhkan, semakin besar tiap salinan. Hubungan ini juga menunjukkan bahwa pecahan satuan tidak pernah melebihi 1 ketika penyebutnya 1 atau lebih.
Mengapa penyebut lebih besar memberi bagian lebih kecil
Ketika keseluruhan yang sama dibagi menjadi lebih banyak bagian sama besar, setiap bagian harus lebih kecil agar semuanya tetap muat. Bandingkan 1/5 dan 1/8 dari batang yang sama. Bagian seperlima lebih besar karena batang dipotong menjadi lima; bagian seperdelapan lebih kecil karena dipotong menjadi delapan. Karena itu 1/8 < 1/5, walaupun 8 lebih besar dari 5.
Misalkan dua kelompok membagi kue yang sama. Dengan 5 orang, tiap porsi adalah 1/5 dari total; dengan 8 orang, tiap porsi adalah 1/8. Porsi 1/5 lebih besar daripada porsi 1/8 karena dibagi kepada lebih sedikit orang. Perbandingan hanya sah jika keseluruhannya sama: setengah kue kecil bukan setengah kue besar. Syarat ini dijelaskan rinci pada pecahan dengan keseluruhan yang sama.
1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/6
Mekanismenya mudah diringkas: memotong menjadi lebih banyak bagian membuat setiap bagian lebih kecil. Kebalikannya juga benar. Jika penyebutnya diperkecil, bagiannya membesar: 1/3 lebih besar dari 1/6 karena sepertiga menghimpun dua perenam. Memeriksa arah urutan dengan aturan ukuran membantu, tetapi tidak menggantikan perhitungan tepat ketika pecahannya berdekatan.
Mengapa urutan terbalik berlaku
Alasannya terdiri dari dua langkah dan tidak memerlukan desimal. Pertama, banyaknya bagian yang memenuhi keseluruhan selalu sama dengan penyebut: n salinan 1/n membentuk keseluruhan. Kedua, keseluruhan itu tidak berubah ketika penyebut lain dipilih; yang berubah hanya jumlah potongannya. Jika dipotong menjadi lebih banyak bagian, setiap bagian pasti lebih kecil, karena jumlah totalnya tetap. Karena itu 1/8 < 1/5: keseluruhan yang sama dibagi menjadi delapan menghasilkan potongan lebih kecil daripada dibagi menjadi lima.
Hubungan antara pecahan satuan dan penyebutnya juga dapat ditulis sebagai pembagian: 1/5 = 1 ÷ 5 dan 1/8 = 1 ÷ 8. Membagi 1 dengan bilangan yang lebih besar menghasilkan hasil bagi yang lebih kecil. Itu cara lain melihat fakta yang sama, berguna ketika pembagian sudah dikuasai.
Mengurutkan pecahan satuan dari terbesar ke terkecil
Untuk mengurutkan pecahan satuan, urutkan penyebutnya lalu balik daftarnya. Penyebut 2, 3, 4, 5, 6, dan 8 menghasilkan, dari bagian terbesar ke terkecil, 1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/5 > 1/6 > 1/8. Gambaran yang berguna adalah dinding pecahan: tabel tempat keseluruhan yang sama dibagi menjadi setengah, sepertiga, seperempat, dan seperlima, disusun dalam kolom. Pada dinding yang digambar rapi, setiap baris menunjukkan pecahan satuan yang membentuk keseluruhan.
Urutan yang sama muncul pada garis bilangan. Letakkan 0 di kiri dan 1 di kanan; pecahan satuan makin mendekati 0 ketika penyebutnya membesar. Alat garis bilangan pecahan menempatkan beberapa sekaligus, dan kalkulator untuk mengurutkan pecahan mengembalikan daftar terurut dari terkecil ke terbesar atau sebaliknya. Panduan pecahan acuan menjelaskan cara memakai 0, 1/2, dan 1 untuk memperkirakan hasil sebelum menghitung.
| Pecahan satuan | Desimal perkiraan | Ukuran bagian |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 tepat | paling besar |
| 1/3 | ≈ 0,333 | lebih kecil dari 1/2 |
| 1/4 | 0,25 tepat | lebih kecil dari 1/3 |
| 1/5 | 0,2 tepat | lebih kecil dari 1/4 |
| 1/6 | ≈ 0,167 | lebih kecil dari 1/5 |
| 1/8 | 0,125 tepat | lebih kecil dari 1/6 |
Sel desimal yang tepat berhenti, sedangkan 1/3 dan 1/6 memakai lambang ≈ karena perluasan desimalnya berlanjut. Untuk mengurutkan, desimalnya tidak perlu: cukup ingat bahwa penyebut lebih besar memberi bagian lebih kecil. Desimal hanya membantu memperkirakan ukuran dengan cepat.
Satu metode cepat dan satu metode tepat
Metode cepat berlaku ketika semua pecahan yang dibandingkan berpembilang 1. Catat penyebutnya, urutkan dari terkecil ke terbesar, lalu balik daftarnya. Dengan 4, 2, 9, dan 5, urutan naiknya adalah 2, 4, 5, 9, sehingga pecahannya menjadi 1/2 > 1/4 > 1/5 > 1/9. Pasangan yang berdekatan, seperti 1/100 dan 1/101, mengikuti aturan yang sama: 1/100 lebih besar.
Metode tepat yang umum tidak mensyaratkan pembilang 1. Bandingkan hasil kali silang a × d dan c × b untuk a/b dan c/d, atau tulis ulang keduanya dengan penyebut persekutuan. Prosedur ini berlaku untuk 2/9 dan 3/14, yang tidak bisa memakai trik penyebut karena pembilangnya bukan 1. Dalam praktik, periksa dahulu apakah semua pecahan itu pecahan satuan; jika ya, triknya aman dan cepat.
1/4 < 1/3 < 1/2
Berapa selisih dua pecahan satuan berurutan?
Dua pecahan satuan berurutan, 1/n dan 1/(n+1) dengan n positif, berjarak tepat 1/(n(n+1)). Pengurangan dengan penyebut persekutuan n(n+1) memberi 1/n − 1/(n+1) = (n+1)/(n(n+1)) − n/(n(n+1)) = 1/(n(n+1)). Hasilnya tetap pecahan satuan karena pembilangnya 1, meskipun penyebutnya berupa hasil kali.
Untuk 1/3 dan 1/4, penyebut persekutuannya 12: 1/3 = 4/12 dan 1/4 = 3/12, sehingga 1/3 − 1/4 = 1/12. Jarak kedua titik pada garis adalah satu per dua belas. Semakin besar n dan n+1, semakin berdekatan kedua pecahan; karena itu 1/2 − 1/3 = 1/6 jaraknya lebih besar daripada 1/5 − 1/6 = 1/30.
| Pengurangan | Penyebut persekutuan | Hasil |
|---|---|---|
| 1/2 − 1/3 | 6 | 1/6 |
| 1/3 − 1/4 | 12 | 1/12 |
| 1/4 − 1/5 | 20 | 1/20 |
| 1/5 − 1/6 | 30 | 1/30 |
Sebelum menghitung manual, perkirakan arahnya: 1/3 lebih besar dari 1/4, jadi pengurangannya positif. Jika hasilnya negatif, urutannya diperiksa terbalik. Kalkulator penyebut persekutuan terkecil menunjukkan satuan bersama ketika penyebutnya tidak berurutan.
Dengan penyebut besar, rumusnya tetap berlaku. Untuk 1/10 dan 1/11 hasil kalinya 110, dan selisihnya 1/10 − 1/11 = 1/110. Meskipun kedua pecahan tampak hampir sama dalam perkiraan desimal, selisih tepatnya bukan nol: yaitu satu dari seratus sepuluh bagian. Rincian ini penting ketika beberapa pengurangan dirangkai dan galat pembulatan menumpuk.
Menulis pecahan sejati apa pun dengan pecahan satuan
Setiap pecahan sejati a/b dapat ditulis sebagai a salinan pecahan satuan 1/b. Hal ini langsung mengikuti perkalian: a × 1/b = a/b. Jadi, 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5, dan 4/7 = 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7. Bacaan ini menjawab berapa banyak bagian sama besar berukuran itu yang dihimpun, dan tidak mengubah ukuran bagiannya.
Ada tiga kasus yang perlu dibedakan. Pertama, pecahan satuan memakai satu salinan 1/b. Kedua, pecahan seperti 3/5 memakai beberapa salinan sama besar dari 1/5, yaitu penjumlahan berulang. Ketiga, penguraian menjadi pecahan satuan berbeda, dengan penyebut yang tidak sama, adalah hal lain dan termasuk pecahan Mesir. Misalnya, 2/3 = 1/3 + 1/3 memakai salinan sama besar, tetapi 2/3 = 1/2 + 1/6 memakai pecahan satuan berbeda. Panduan jenis-jenis pecahan memisahkan pecahan sejati, tak sejati, dan tampak, serta membantu menempatkan pecahan satuan.
Hal ini juga berlaku sebaliknya: dengan menghimpun beberapa salinan pecahan satuan, hasilnya dapat disederhanakan. Jumlahkan 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 dengan menyederhanakan bagi 3. Langkah penyederhanaan ini tidak mengubah jumlahnya, hanya penulisannya.
Alasan yang sama berlaku untuk pecahan yang lebih besar dari 1. Pada 7/5 terdapat lima perlima yang membentuk satu keseluruhan dan sisa dua perlima: 7/5 = 5/5 + 1/5 + 1/5 = 1 + 2/5. Bagian bilangan bulat dipisahkan lebih dahulu, lalu bagian pecahannya ditulis dengan salinan pecahan satuan yang sesuai. Langkah ini lazim ketika membaca pecahan tak sejati sebagai bilangan campuran dan tidak mengubah nilainya: 7/5 dan 1 2/5 mewakili jumlah yang sama.
Bagaimana menjumlahkan dua pecahan satuan?
Untuk menjumlahkan dua pecahan satuan berbeda, cari dahulu penyebut persekutuan, lalu jumlahkan pembilangnya. Misalnya, 1/2 + 1/3 ditulis dalam perenam: 1/2 = 3/6 dan 1/3 = 2/6, sehingga 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Hasilnya, lima perenam, bukan pecahan satuan: pembilangnya 5. Kalkulator penjumlahan pecahan menunjukkan penyebut persekutuan langkah demi langkah, dan kalkulator pecahan memberi nilai tepatnya.
Jumlah dua pecahan satuan selalu lebih besar dari masing-masing suku, karena ditambahkan jumlah positif. Jumlahnya juga biasanya memerlukan pecahan yang pembilangnya lebih dari 1, tetapi tidak selalu: 1/3 + 1/6 = 1/2 dan 1/4 + 1/12 = 1/3 adalah jumlah pecahan satuan berbeda yang hasilnya kembali satuan. Jadi jangan menilai dari sukunya: hitung jumlahnya dan periksa pembilangnya.
| Penjumlahan | Penyebut persekutuan | Hasil |
|---|---|---|
| 1/2 + 1/3 | 6 | 5/6 |
| 1/3 + 1/4 | 12 | 7/12 |
| 1/2 + 1/6 | 6 | 2/3 |
| 1/2 + 1/4 | 4 | 3/4 |
| 1/4 + 1/5 | 20 | 9/20 |
Periksa setiap penjumlahan dengan pengurangan kebalikannya: 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2. Jika pemeriksaan tidak mengembalikan suku asalnya, cari kesalahannya pada penyebut persekutuan, bukan pada penjumlahan pembilang.
Misalkan sebuah resep memerlukan 1/2 cangkir salah satu bahan dan 1/3 cangkir bahan lain. Jumlah totalnya 5/6 cangkir, karena 3/6 + 2/6 = 5/6. Jika bagian 1/3 kemudian diambil, sisanya 1/2 lagi. Penyebut 2 dan 3 tidak dijumlahkan satu sama lain: satuan bersama 6 dipakai agar kedua ukuran menghitung ukuran bagian yang sama. Menganggap 1/2 + 1/3 sebagai 2/5 akan memberi jumlah lebih kecil dari suku pertama, hasil yang mustahil saat menambahkan.
Pecahan satuan dan pecahan Mesir
Pecahan satuan adalah dasar sebuah notasi bersejarah. Dalam matematika Mesir kuno, pecahan terutama ditulis sebagai jumlah pecahan satuan berbeda, dengan 2/3 sebagai lambang khusus yang menonjol. Lambang dan metodenya dijelaskan di halaman lain.
Kaitannya dengan topik ini langsung. Setiap pecahan satuan sudah ditulis sebagai satu suku. Beberapa jumlah pecahan satuan berbeda menghasilkan bilangan sederhana: 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1. Pecahan lain, seperti 2/3, mengizinkan penguraian menjadi pecahan satuan berbeda: 2/3 = 1/2 + 1/6. Kalkulator pecahan Mesir memperoleh penguraian semacam itu dengan metode greedy, dan teori lengkapnya ada di representasi pecahan lainnya. Satuan 1/n adalah potongan yang membentuk jumlah tersebut.
Kesalahan membandingkan hanya penyebutnya
Kesalahan yang sering terjadi pada pecahan satuan adalah mengurutkannya terbalik. Muncul anggapan: “1/8 lebih besar dari 1/5 karena 8 lebih besar dari 5”. Itu salah. Dengan keseluruhan yang sama, membagi menjadi delapan bagian membuat tiap bagian lebih kecil daripada membagi menjadi lima, sehingga 1/8 lebih kecil dari 1/5. Penyebut menyebutkan banyaknya bagian, bukan ukurannya; semakin banyak bagian, semakin kecil tiap bagian.
Misalkan kamu membandingkan 1/100 dan 1/97 tanpa kalkulator. Karena 97 < 100, pecahan 1/97 lebih besar: keseluruhan dipotong menjadi lebih sedikit bagian. Alasan yang sama menjelaskan mengapa 1/2 adalah pecahan satuan terbesar yang lazim: keseluruhannya hanya perlu dibagi dua.
Kesalahan ini tidak hilang dengan bilangan besar. Mengatakan 1/1000 lebih besar dari 1/999 karena 1000 > 999 membalik urutan sebenarnya; 1/999 lebih besar. Aturan ini berlaku untuk pecahan dengan pembilang positif yang sama dan keseluruhan yang sama: pembilang 1, atau pembilang bersama lainnya.
Kapan sebaiknya memakai urutan menurut penyebut?
Aturan “penyebut lebih besar, pecahan lebih kecil” berlaku untuk pecahan dengan pembilang positif yang sama, seperti pecahan satuan, dan untuk jumlah positif. Jika pembilangnya berbeda, bandingkan dengan cara lain. Untuk 3/7 dan 3/8, pembilang yang sama memungkinkan membandingkan penyebutnya: 3/7 > 3/8. Tetapi untuk 5/8 dan 2/3, melihat angkanya saja menyesatkan; gunakan hasil kali silang atau tulis ulang keduanya dengan penyebut persekutuan dengan bantuan kalkulator pembanding pecahan.
Untuk nilai negatif, urutannya terbalik: −1/2 lebih kecil dari −1/3, meskipun 1/2 lebih besar dari 1/3. Perkiraan dengan acuan 0, 1/2, dan 1 dari panduan pecahan acuan membantu mendeteksi hasil yang mustahil, tetapi tidak menggantikan perbandingan tepat. Satu batas terakhir: desimal hasil pembulatan tidak pernah menggantikan pecahan. 1/3 ≈ 0,333 dan 1/6 ≈ 0,167 adalah perkiraan; untuk menentukan urutan yang tepat, bekerjalah dengan pecahannya.
Coba sendiri: empat pemeriksaan
- Urutkan dari terbesar ke terkecil: 1/2, 1/5, 1/3, dan 1/8. Jawaban: 1/2 > 1/3 > 1/5 > 1/8. Cukup balik urutan penyebut 2, 3, 5, dan 8.
- Hitung 1/4 − 1/5. Jawaban: dengan penyebut persekutuan 20, 1/4 = 5/20 dan 1/5 = 4/20, jadi 1/4 − 1/5 = 1/20.
- Tulis 4/7 sebagai jumlah pecahan satuan yang sama. Jawaban: 4/7 = 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7.
- Jumlahkan 1/2 + 1/4. Jawaban: dengan penyebut persekutuan 4, 1/2 = 2/4, jadi 2/4 + 1/4 = 3/4.