Stammbrüche: was sie sind und wie du sie ordnest

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Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler 1, etwa 1/2, 1/7 oder 1/10. Von zwei Stammbrüchen ist der mit dem kleineren Nenner der größere, weil das Ganze in weniger Teile geteilt wird. Darum ist 1/5 größer als 1/8. Mit dieser Regel ordnest du eine Liste, ohne Dezimalzahlen zu verwenden. Wenn du einen Bruch als Summe verschiedener Stammbrüche schreiben willst, übernimmt das der Rechner für ägyptische Brüche; hier geht es darum, was Stammbrüche sind und wie man sie vergleicht.

Was einen Bruch zum Stammbruch macht

Bei einem Stammbruch ist der Zähler 1 und der Nenner eine positive ganze Zahl. Er zählt einen einzigen Teil eines Ganzen, das in gleich große Teile geteilt ist. Deshalb sind 1/4 und 1/100 Stammbrüche, 2/5 und 3/4 dagegen nicht, weil ihr Zähler nicht 1 ist. Der Nenner 0 legt keinen Bruch fest, also gehört 1/0 nicht dazu.

Das Wort beschreibt, wie der Bruch geschrieben ist, nicht, wie viel er wert ist. 1/2 und 1/100 sind beide Stammbrüche, und der eine ist fünfzigmal so groß wie der andere. Wenn du die Teile eines Bruchs wiederholen möchtest, trennt der Ratgeber zu Zähler und Nenner sie in Ruhe, und zum Zeichnen eines Stammbruchs hilft das Werkzeug Brüche darstellen.

Warum ein größerer Nenner einen kleineren Teil ergibt

Teile einen Streifen in 5 gleiche Teile und einen gleich großen Streifen in 8. Damit acht Stücke Platz haben, muss man sie dünner schneiden, also ist jedes Achtel kleiner als jedes Fünftel. Das Argument kommt ohne Dezimalzahlen aus: n Kopien von 1/n füllen immer das Ganze, und wenn man mehr Kopien braucht, ist jede einzelne kleiner.

Eine andere Sichtweise ist die Division: 1 ÷ 5 = 0,2 und 1 ÷ 8 = 0,125, und wer 1 durch eine größere Zahl teilt, erhält einen kleineren Quotienten. Der Vergleich gilt nur, wenn das Ganze dasselbe ist. Die Hälfte einer kleinen Torte ist nicht so groß wie die Hälfte einer großen, ein Punkt, den der Ratgeber zu Brüchen mit demselben Ganzen vertieft.

Eine Liste von Stammbrüchen ordnen

Um Stammbrüche zu ordnen, sortierst du die Nenner von klein nach groß und schreibst die Brüche in derselben Reihenfolge auf. Die Liste ist dann ohne jede Rechnung von groß nach klein geordnet.

Die Regel mit den Nennern gilt, wenn die Zähler gleich sind, und versagt, sobald sie sich unterscheiden.

In der letzten Zeile ist der Nenner 4 größer als 3 und trotzdem ist 3/4 der größere Bruch. Nur die ersten beiden Zeilen lassen sich also auf einen Blick lösen. Für den Rest multipliziert der Rechner Brüche vergleichen über Kreuz, und der Rechner Brüche ordnen liefert die ganze Liste. Auf dem Zahlenstrahl rücken die Stammbrüche an die 0, je größer der Nenner wird, und der Ratgeber zu Referenzbrüchen zeigt, wie du mit 0, 1/2 und 1 abschätzt.

Der Abstand zwischen benachbarten Stammbrüchen

Zwei aufeinanderfolgende Stammbrüche, 1/n und 1/(n + 1), liegen genau 1/(n × (n + 1)) auseinander. Das ergibt sich aus der Subtraktion mit gemeinsamem Nenner: 1/n − 1/(n + 1) = (n + 1)/(n × (n + 1)) − n/(n × (n + 1)) = 1/(n × (n + 1)).

Der Abstand schrumpft sehr schnell, deshalb drängen sich Stammbrüche mit großem Nenner auf dem Zahlenstrahl nahe der 0. In einer Zeichnung fallen diese beiden Brüche fast zusammen, doch sie sind 1/380 voneinander entfernt, und das ist nicht null. Für jede beliebige Subtraktion zeigt der Rechner Brüche subtrahieren den gemeinsamen Nenner.

Stammbrüche addieren

Um 1/a + 1/b zu addieren, suchst du einen gemeinsamen Nenner, zum Beispiel das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von a und b. Bei 1/14 + 1/21 ist das kgV 42, und 3/42 + 2/42 = 5/42. Die Nenner werden nicht addiert. Das würde 2/35 ergeben, weniger als der Summand 1/14, und das ist unmöglich, wenn man positive Mengen hinzufügt. Der Ratgeber warum man Nenner nicht addiert erklärt das mit Zeichnungen.

Allgemein gilt 1/a + 1/b = (a + b)/(a × b), und das Ergebnis ist nur dann ein Stammbruch, wenn nach dem Kürzen der Zähler 1 bleibt. Das passiert bei 1/9 + 1/18 = 3/18 = 1/6, nicht aber bei 1/6 + 1/7 = 13/42. Darum kürzt du und schaust auf den Zähler am Ende, statt es an den Summanden abzulesen. Der Rechner Brüche addieren rechnet und kürzt, und der Rechner für den kleinsten gemeinsamen Nenner zeigt den gemeinsamen Nenner.

Jeden Bruch mit Stammbrüchen schreiben

Jeder Bruch a/b ist die Summe von a Kopien von 1/b. So ist 3/11 = 1/11 + 1/11 + 1/11, und deshalb addierst du Brüche mit gleichem Nenner, indem du die Zähler zählst: Du legst gleich große Stücke zusammen.

Es gibt noch eine andere Zerlegung, mit Stammbrüchen verschiedener Nenner, und das ist das Gebiet der ägyptischen Brüche. Zum Beispiel 7/10 = 1/2 + 1/5 und 5/6 = 1/2 + 1/3, denn 3/6 + 2/6 = 5/6. Jeder positive Bruch lässt sich so zerlegen, und die Zerlegung ist nicht eindeutig. Der Rechner für ägyptische Brüche liefert eine, der Ratgeber zu Kettenbrüchen und ägyptischen Brüchen vergleicht diese Schreibweise mit Kettenbrüchen, und der zu den Brucharten ordnet den Stammbruch zwischen echten, unechten und scheinbaren Brüchen ein.

Zum Üben

Löse zuerst von Hand und prüfe danach mit den Rechnern.