Une fraction unitaire est une fraction dont le numérateur vaut 1, comme 1/2, 1/7 ou 1/10. Entre deux d’entre elles, la plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit, car le tout est partagé en moins de parts : c’est pourquoi 1/5 est plus grande que 1/8. Avec cette règle, vous classez une liste sans passer par l’écriture décimale. Si vous cherchez à écrire une fraction comme somme de fractions unitaires distinctes, c’est le rôle de la calculatrice de fractions égyptiennes ; ici, nous voyons ce qu’elles sont et comment on les compare.
Ce qui rend une fraction unitaire
Dans une fraction unitaire, le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Elle compte une seule part d’un tout partagé en parts égales. Ainsi 1/4 et 1/100 sont unitaires, alors que 2/5 et 3/4 ne le sont pas, puisque leur numérateur n’est pas 1. Un dénominateur égal à 0 ne définit aucune fraction : 1/0 n’existe donc pas.
Le mot décrit la façon d’écrire la fraction, pas sa valeur. 1/2 et 1/100 sont toutes deux unitaires, et l’une vaut cinquante fois l’autre. Pour revoir les deux parties d’une fraction, le guide numérateur et dénominateur les distingue pas à pas, et l’outil pour représenter des fractions permet de dessiner une fraction unitaire.
Pourquoi un dénominateur plus grand donne une part plus petite
Partagez une barre en 5 parts égales, et une barre identique en 8. Pour que huit morceaux tiennent dans la même barre, il faut les couper plus fin : chaque huitième est donc plus petit que chaque cinquième. Le raisonnement n’a pas besoin de l’écriture décimale : n copies de 1/n remplissent toujours le tout, et s’il en faut davantage, chacune est plus petite.
On peut aussi y voir une division : 1 ÷ 5 = 0,2 et 1 ÷ 8 = 0,125, et diviser 1 par un nombre plus grand donne un quotient plus petit. La comparaison n’a de sens que si le tout est le même. La moitié d’une petite tarte n’est pas égale à la moitié d’une grande, un point développé dans le guide sur les fractions d’un même tout.
Classer une liste de fractions unitaires
Pour classer des fractions unitaires, on range les dénominateurs du plus petit au plus grand et on écrit les fractions dans ce même ordre. La liste est alors du plus grand au plus petit, sans aucun calcul.
Exemple résolu : classer quatre fractions unitaires
Classez du plus grand au plus petit les fractions unitaires de dénominateurs 6, 3, 10 et 4, puis calculez l’écart entre les deux plus grandes.
- Notez les dénominateurs. Ce sont 6, 3, 10 et 4.
- Rangez-les du plus petit au plus grand. On obtient 3, 4, 6 et 10.
- Écrivez les fractions unitaires dans cet ordre. 1/3, 1/4, 1/6 et 1/10 vont déjà du plus grand au plus petit.
- Soustrayez les deux premières. Avec le dénominateur commun 12, 1/3 = 4/12 et 1/4 = 3/12, donc l’écart est 1/12.
Résultat : 1/3 > 1/4 > 1/6 > 1/10, et les deux plus grandes sont séparées de 1/12.
Vérification : en décimaux, 0,333… > 0,25 > 0,166… > 0,1, et 1/4 + 1/12 = 1/3, car 3/12 + 1/12 = 4/12.
La règle des dénominateurs fonctionne quand les numérateurs sont égaux, et elle échoue dès qu’ils changent.
| Cas | Exemple | Que faire |
|---|---|---|
| Numérateur 1 partout | 1/7 et 1/9 | Le plus petit dénominateur l’emporte : 1/7 |
| Même numérateur, différent de 1 | 3/7 et 3/8 | Là aussi, le plus petit dénominateur l’emporte : 3/7 |
| Numérateurs différents | 3/4 et 2/3 | Il faut calculer : 3 × 3 = 9 dépasse 2 × 4 = 8, donc 3/4 l’emporte |
Dans la dernière ligne, le dénominateur 4 est plus grand que 3 et pourtant 3/4 est la plus grande des deux : seules les deux premières lignes se règlent d’un coup d’œil. Pour les autres cas, la calculatrice de comparaison de fractions utilise les produits en croix, et celle pour ordonner des fractions renvoie la liste complète. Sur la droite graduée, les fractions unitaires se rapprochent de 0 à mesure que le dénominateur grandit, et le guide des fractions repères apprend à estimer avec 0, 1/2 et 1.
L’écart entre fractions unitaires voisines
Deux fractions unitaires consécutives, 1/n et 1/(n + 1), sont séparées exactement de 1/(n × (n + 1)). On l’obtient en soustrayant avec un dénominateur commun : 1/n − 1/(n + 1) = (n + 1)/(n × (n + 1)) − n/(n × (n + 1)) = 1/(n × (n + 1)).
| Soustraction | n × (n + 1) | Résultat |
|---|---|---|
| 1/11 − 1/12 | 132 | 1/132 |
| 1/16 − 1/17 | 272 | 1/272 |
| 1/19 − 1/20 | 380 | 1/380 |
| 1/24 − 1/25 | 600 | 1/600 |
L’écart diminue très vite, si bien que les fractions unitaires à grand dénominateur se serrent près de 0 sur la droite. Sur un dessin, ces deux fractions se confondent presque, mais elles sont distantes de 1/380, ce qui n’est pas zéro. Pour une soustraction quelconque, la calculatrice de soustraction de fractions montre le dénominateur commun.
Additionner des fractions unitaires
Pour additionner 1/a + 1/b, on cherche un dénominateur commun, par exemple le plus petit multiple commun (PPCM) de a et b. Avec 1/14 + 1/21, le PPCM est 42, et 3/42 + 2/42 = 5/42. On n’additionne pas les dénominateurs : on obtiendrait 2/35, qui est plus petit que le terme 1/14, ce qui est impossible quand on ajoute des quantités positives ; le guide sur pourquoi on n’additionne pas les dénominateurs l’explique avec des dessins.
En général, 1/a + 1/b = (a + b)/(a × b), et le résultat est unitaire seulement si, après simplification, le numérateur vaut 1. C’est le cas de 1/9 + 1/18 = 3/18 = 1/6, mais pas de 1/6 + 1/7 = 13/42. Il faut donc simplifier et regarder le numérateur final, au lieu de le deviner d’après les termes. La calculatrice d’addition de fractions fait le calcul et simplifie, et celle du plus petit dénominateur commun montre le dénominateur partagé.
Écrire une fraction avec des fractions unitaires
Toute fraction a/b est la somme de a copies de 1/b. Ainsi, 3/11 = 1/11 + 1/11 + 1/11, et c’est pourquoi les fractions de même dénominateur s’additionnent en comptant les numérateurs : on réunit des pièces de même taille.
Il existe une autre façon de décomposer, avec des fractions unitaires de dénominateurs différents : c’est le domaine des fractions égyptiennes. Par exemple, 7/10 = 1/2 + 1/5, et 5/6 = 1/2 + 1/3 car 3/6 + 2/6 = 5/6. Toute fraction positive admet une telle décomposition, qui n’est pas unique. La calculatrice de fractions égyptiennes en trouve une, le guide sur d’autres représentations des fractions compare cette notation aux fractions continues, et celui des types de fractions situe la fraction unitaire parmi les fractions inférieures à 1, supérieures à 1 et égales à un entier.
Pour s’entraîner
Résolvez d’abord à la main, puis vérifiez avec les calculatrices ci-dessus. Pour voir les parts dans un modèle visuel, l’outil pour représenter des fractions dessine chaque fraction unitaire.
À vous
- Classez du plus grand au plus petit 1/15, 1/25, 1/18 et 1/22.
- Calculez 1/8 − 1/9.
- Calculez 1/10 + 1/15.
- Écrivez 3/14 comme somme de fractions unitaires égales.
- Laquelle est la plus grande, 1/60 ou 1/61 ?
Voir les réponses
- 1/15 > 1/18 > 1/22 > 1/25, car les dénominateurs, du plus petit au plus grand, sont 15, 18, 22 et 25.
- 1/72, car 8 × 9 = 72 et 9/72 − 8/72 = 1/72.
- 1/6, car 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6.
- 1/14 + 1/14 + 1/14.
- 1/60, car 60 < 61.